1 сем 13 14 Предел последоват и функции

ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Числовой последовательностью называется функция f : N R . Число-

вая последовательность обозначается

{xn} x1, x2 , , xn , ,

где каждое значение xn f (n) , n N называется элементом (или членом) по-

следовательности {xn }, а число n – его номером. Формула xn f (n) называ-

ется формулой общего члена последовательности.

Заметим, что множество элементов последовательности всегда бесконеч-

но (счѐтно), а множество значений элементов может быть конечным. Например,

Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если

последовательность.

Над числовыми последовательностями можно выполнять следующие арифметические действия.

1) Произведением последовательности {xn } на число k R называется последовательность

{kxn} kx1, kx2 , , kxn ,

2) Суммой последовательностей {xn } и {yn} называется последователь-

ность

{xn yn} x1 y1, x2 y2 , , xn yn ,

3) Разностью последовательностей {xn} и {yn} называется последова-

тельность

{xn yn} x1 y1, x2 y2 , , xn yn ,

4) Произведением последовательностей {xn } и {yn} называется после-

довательность

{xn yn} x1 y1, x2 y2 , , xn yn ,

5) Частным последовательностей {xn } и {yn} называется последова-

тельность

откуда следует геометрический смысл (рис. 1) предела последовательности:

число a является пределом последовательности {xn }, если в любой его окрест-

ности O(a) содержится бесконечное число членов последовательности {xn}, а

вне окрестности O(a) находится лишь конечное число элементов последова-

тельности {xn }.

Рис. 1. Геометрический смысл предела последовательности.

Последовательность {xn } называется бесконечно большой, если

lim xn lim yn , а {cn} – ограниченная последовательность. Тогда бес-

n n

конечно большими будут последовательности {xn yn}, {xn yn}, {cn xn},

{cn xn}.

Последовательность { n} называется бесконечно малой, если0 N N( ) n N : n ,

то есть lim n 0 .

n

1 Например, последовательность является бесконечно малой при

na a 0 и бесконечно большой при a 0 .

Если последовательности { n} и { n} бесконечно малые, то бесконечно малыми будут последовательности { n n}, { n n}, {cn n}, где {cn} –

ограниченная последовательность. Если { n} – бесконечно малая последова-

1 тельность, то – бесконечно большая последовательность.

n

{xkm } xk1 , xk2 , , xkm ,

Числовая последовательность {xkm } называется подпоследовательностью ис-

ходной последовательности {xn }.

Число a называется частичным пределом последовательности {xn }, если найдѐтся подпоследовательность последовательности {xn }, предел которой ра-

вен a . Если последовательность {xn } сходится и lim xn a , то любой еѐ час-

n

тичный предел равен a . Для расходящихся последовательностей частичные пределы могут принимать различные значения.

Наибольший из всех частичных пределов последовательности {xn} назы-

вается верхним пределом последовательности {xn } и обозначается lim xn , а

n

Числовая последовательность {xn } называется:

1)возрастающей, если n N : xn xn 1 ;

2)неубывающей, если n N : xn xn 1 ;

3)убывающей, если n N : xn xn 1;

4)невозрастающей, если n N : xn xn 1 .

Такие последовательности называются монотонными. Последовательно-

сти 1) и 2) называются монотонно возрастающими, а последовательности 3) и

4) – монотонно убывающими.

Теорема 1. Монотонно возрастающая (убывающая) последовательность

{xn } сходится тогда и только тогда, когда она ограничена сверху (снизу). Для монотонно возрастающей (убывающей) последовательности