Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

1 сем 08 09 Линии и поверх в простр

.pdf
Скачиваний:
7
Добавлен:
12.02.2015
Размер:
567.16 Кб
Скачать

Линии и поверхности в пространстве

Уравнение F(x, y, z) 0 называется уравнением поверхности S в

прямоугольной декартовой системе координат Oxyz , если этому уравнению удовлетворяют координаты любой точки M (x, y, z) S , и не удовлетворяют координаты всех точек N(x, y, z) S .

Цилиндрической поверхностью (или цилиндром) называется поверхность

(рис. 1а), образованная прямыми, имеющими одинаковое направление и пересекающими некоторую кривую L . Прямые линии называются

образующими, а кривая L направляющей цилиндра. Уравнение цилиндрической поверхности с образующими параллельными оси Oz ( Ox или Oy ) имеет вид F(x, y) 0 ( F( y, z) 0 или F(x, z) 0 соответственно).

Конической поверхностью (или конусом) называется поверхность (рис.

1б), образованная прямыми, проходящими через данную точку M и

пересекающими некоторую кривую L ( M L). Прямые линии называются

образующими, точка M вершиной, а кривая L направляющей конуса.

(а)

(б)

Рис. 1. Цилиндрическая (а) и коническая (б) поверхности.

Функция F(x, y, z) называется однородной функцией порядка (измерения

или степени) относительно переменных x, y, z , если при любом допустимом t R справедливо тождество

F(tx,ty,tz) t F(x, y, z) .

Уравнение конической поверхности в прямоугольной декартовой системе координат Oxyz с вершиной в точке O имеет вид F(x, y, z) 0 , где F(x, y, z)

– однородная функция.

Поверхностью вращения (рис. 2)

называется поверхность, образованная вращением некоторой плоской кривой

вокруг оси, лежащей в еѐ плоскости. Если в

 

прямоугольной

декартовой

системе

 

координат Oxyz за ось вращения выбрать

Рис. 2. Поверхность вращения.

 

ось Oz ( Ox

или Oy ), то

уравнение поверхности вращения имеет вид

F ( x2 y2 , z) 0

( F (

y2 z2 , x) 0

или

F(

x2 z2 , y) 0

соответственно).

 

 

 

 

 

Уравнения

 

 

 

x x(u,v),

 

 

 

 

(u,v) D R

2

,

y y(u,v),

 

 

 

 

 

z z(u,v),

 

 

 

называются параметрическими уравнениями поверхности S

в прямоугольной

декартовой системе координат

Oxyz , если

для всех

(u,v) D точка

M (x(u,v), y(u,v), z(u,v)) S и, для любой точки

M0 (x0 , y0 , z0 ) S существует

(u0 ,v0 ) D , что x0 x(u0 ,v0 ) , y0

y(u0 ,v0 ) , z0

z(u0 ,v0 ) .

 

Уравнения

F1(x, y, z) 0,F2 (x, y, z) 0,

называются уравнениями линии L в прямоугольной декартовой системе координат Oxyz , если координаты любой точки M (x, y, z) L одновременно удовлетворяют обоим этим уравнениям, и не удовлетворяют хотя бы одному из данных уравнений координаты всех точек N(x, y, z) L . Каждое из уравнений

F1(x, y, z) 0 и F2 (x, y, z) 0

определяет некоторую поверхность в пространстве, а линия L является линией пересечения этих поверхностей.

Уравнения

x x(t),

 

 

t D R ,

y y(t),

 

 

z z(t),

 

называются параметрическими уравнениями линии L в прямоугольной декартовой системе координат Oxyz , если для каждого значения t D точка

M (x(t), y(t), z(t)) L и, для любой точки M0 (x0 , y0 , z0 ) L существует такое значение t0 D , что x0 x(t0 ) , y0 y(t0 ) , z0 z(t0 ) . Эти уравнения могут быть записаны в виде одного векторного уравнения

r r(t) ,

где r – радиус-вектор точки M L, t – параметр.

Алгебраической поверхностью n -го порядка называется поверхность,

определяемая в некоторой прямоугольной декартовой системе координат алгебраическим уравнением n -ой степени. Если поверхность в некоторой прямоугольной декартовой системе координат определяется алгебраическим уравнением n -ой степени, то и в любой другой прямоугольной декартовой системе координат эта поверхность будет определяться алгебраическим уравнением той же n -ой степени.

Алгебраическими поверхностями первого порядка являются плоскости.

Плоскость в прямоугольной декартовой системе координат Oxyz можно задать уравнением одного из следующих видов.

1. Общее уравнение плоскости:

Ax By Cz D 0 ,

где A, B,C, D – произвольные действительные числа, причем A , B и C не равны нулю одновременно.

2. Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно заданному вектору:

A(x x0 ) B( y y0 ) С(z z0 ) 0,

где M0 (x0 , y0 , z0 ) – точка лежащая на плоскости, n( A, B,C) – вектор перпендикулярный плоскости (нормальный вектор).

3. Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки:

 

x x1

y y1

z z1

 

 

 

 

x2 x1

y2 y1

z2 z1

0 ,

 

x3 x1

y3 y1

z3 z1

 

где M1(x1, y1, z1), M2 (x2 , y2 , z2 )

и M3 (x3, y3, z3 ) – точки принадлежащие

плоскости и не лежащие на одной прямой.

4.Нормальное уравнение плоскости:

xcos y cos z cos p 0,

где cos , cos и cos – направляющие косинусы нормального вектора,

направленного из начала координат в сторону плоскости, p – расстояние от начала координат до плоскости.

Ax By Cz D 0

Для того чтобы общее уравнение плоскости привести к нормальному уравнению, необходимо уравнение умножить на множитель

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A2 B2 C2

где знак «+» выбирается, если D 0 и знак «–», если D 0.

5. Уравнение плоскости в отрезках:

 

 

 

 

 

x

 

y

 

z

1,

 

 

 

 

a

b

c

 

 

 

 

 

 

 

 

 

где a , b и c – величины отрезков, которые плоскость отсекает на осях Ox , Oy

и Oz соответственно.

Расстояние h от точки M0 (x0 , y0 , z0 ) до плоскости, заданной общим

уравнением Ax By Cz D 0 определяется по формуле

 

 

 

 

h

 

 

Ax0 By0

 

Cz0

D

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A2 B2 C2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Пусть

две

плоскости

 

 

заданы

 

 

 

 

 

 

 

общими

уравнениями

A1x B1 y C1z D1

0 и A2 x B2 y C2 z D2

0 , тогда

 

а) плоскости параллельны, если

 

A1

 

 

 

B1

 

 

 

C1

;

 

 

 

 

 

A2

 

B2

C2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) плоскости совпадают, если

A1

 

 

 

B1

 

 

C1

 

 

D1

;

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A2

 

 

 

B2

 

 

 

 

C2

 

D2

 

 

 

 

в) плоскости перпендикулярны, если A1A2 B1B2

C1C2

0 ;

г) угол между плоскостями определяется из равенства

 

 

cos

 

 

 

 

 

 

A1A2 B1B2 C1C2

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

A2

B2 C2

 

 

A2

B2 C2

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

2

2

 

 

 

если требуется определить острый угол между плоскостями, то выражение в правой части равенства необходимо взять по модулю.

Прямую в пространстве в прямоугольной декартовой системе координат

Oxyz можно задать следующими уравнениями.

1.Общие уравнения прямой:

A1x B1 y C1z D1 0,A2 x B2 y C2 z D2 0,

где коэффициенты A1, B1,C1 не пропорциональны коэффициентам A2 , B2 ,C2 , то есть прямая является линией пересечения двух непараллельных плоскостей.

2. Уравнения прямой, проходящей через данную точку параллельно

заданному вектору (канонические уравнения прямой):

x x0 y y0 z z0 ,

ax

ay

az

где M0 (x0 , y0 , z0 ) – точка лежащая на прямой, a(ax , ay , az ) – направляющий вектор прямой.

3. Уравнения прямой, проходящей через две заданные точки:

x x1

 

y y1

 

z z1

,

 

 

 

x

x

 

y

2

y

 

z

2

z

 

2

1

 

 

1

 

 

1

 

где M1(x1, y1, z1) и M2 (x2 , y2 , z2 ) – точки лежащие на прямой.

4. Параметрические уравнения прямой:

x x0y y0z z0

axt,

ayt, t R ,

azt,

где M0 (x0 , y0 , z0 ) – точка лежащая на прямой, a(ax , ay , az ) – направляющий

вектор прямой.

5. Векторно-параметрическое уравнение прямой: r(t) r0 at , t R ,

где r0 – радиус-вектор точки M0 L , a(ax , ay , az ) – направляющий вектор прямой, t – параметр.

Пусть две прямые заданы каноническими уравнениями

x x1

 

y y1

 

z z1

и

x x2

 

y y2

 

z z2

, тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ax

 

ay

 

az

bx

 

by

 

bz

а) прямые параллельны, если

a

x

 

ay

 

 

 

a

z

;

 

 

 

 

bx

by

 

bz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

б) прямые перпендикулярны, если axbx ayby azbz

0 ;

в) угол между прямыми определяется из равенства

 

cos

 

 

axbx ayby azbz

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a2

a2

a2

 

b2

b2

b2

 

 

 

x

 

y

 

z

 

 

x

y

z

 

если требуется определить острый угол между прямыми, то выражение в правой части равенства необходимо взять по модулю;

г) прямые лежат в одной плоскости, если

 

x2 x1

y2 y1

z2 z1

 

 

ax

ay

az

0 ;

 

bx

by

bz

 

 

 

 

 

 

д) прямые являются скрещивающимися, если 0 .

Пример 1. Найти угол между прямой

3x y 4z 5 0,

 

 

2 y 2z 3 0,

и

 

x

 

плоскостью, проходящей через точки M1(2,3,1) ,

M2 ( 1,2,4) , M3 (0,4,3) .

Синус угла (рис. 3) между

 

 

 

 

 

прямой и плоскостью равен модулю

 

 

 

 

 

косинуса угла (модуль учитывает

 

 

 

 

 

случай, когда – тупой угол) между

 

 

 

 

 

нормальным вектором n плоскости и

 

 

 

 

 

направляющим вектором a прямой:

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

cos

 

 

 

 

 

 

na

 

 

 

 

.

(1)

 

Рис. 3. Чертѐж к примеру 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

 

 

 

a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выберем n M1M2 M1M3 , тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

j

k

 

i

 

j

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n

1 2

 

 

2 3

4 1

 

3

1

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 2

 

 

4 3

3 1

 

2 1 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

( 2 3)i ( 6 6)j ( 3 2)k 5i 5k ( 5,0, 5) .

Общие уравнения прямой определяют две плоскости, пересечением которых является данная прямая. Следовательно, в качестве направляющего вектора a

можно выбрать

a n1 n2 , где

n1 и

n2 – нормальные векторы указанных

плоскостей. Тогда

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

j

k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

3

1

4

(2 8)i ( 4 6)j (6 1)k 10i 10 j 5k (10, 10,5) .

 

1

2

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подставляя координаты векторов n и a в формулу (1), находим

 

 

 

 

 

 

sin

 

 

 

( 5) 10 0 ( 10) ( 5) 5

 

 

 

 

 

 

75

 

 

 

1

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

50 225

 

 

 

 

 

 

( 5)2 02 ( 5)2

102

( 10)2

52

2

 

 

Таким образом,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sin

 

1

 

 

 

. ▲

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Уравнение алгебраических поверхностей 2-го порядка в прямоугольной декартовой системе координат Oxyz имеет вид

Ax2 By2 Cz2 2Dxy 2Exz 2Fyz Gx Hy Iz J 0 ,

(2)

где не все коэффициенты A , B , C , D , E , F равны одновременно нулю.

Вобщем случае уравнение (11) может определять: 1) пустое множество,

2)точку, 3) прямую, 4) плоскость, 5) пару плоскостей, 6) эллипсоид, 7)

гиперболоид, 8) конус второго порядка, 9) параболоид, 10) цилиндр второго порядка. В случаях 1) – 5) алгебраические поверхности 2-го порядка называются вырожденными, остальные невырожденными.

В пространстве всегда можно выбрать такую прямоугольную декартову систему координат Oxyz , в которой любое уравнение, определяющее невырожденную поверхность 2-го порядка, приведется к одному из следующих видов.

Уравнение эллипсоида

x2

 

y2

 

z2

1,

( a 0 , b 0, c 0).

a2

b2

c2

 

 

 

 

Уравнение гиперболоида

а) однополостного

x2

 

y2

 

z2

1,

( a 0 , b 0, c 0).

a2

b2

c2

 

 

 

 

б) двуполостного

x2 y2 z2 1, ( a 0 , b 0, c 0). a2 b2 c2

Уравнение конуса второго порядка

x2 y2 z2 0 , ( a 0 , b 0, c 0). a2 b2 c2

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.