09 Системы ОДУ

Таким образом, при выполнении условий теоремы о существовании и единственности решения задачи Коши для нормальной системы дифференциальных уравне-

ний в некоторой области D пространства Rn 1 переменных x, y1 , y2 , , yn через каждую точку x0 , y10 , y20 ,..., yn0 этой области проходит одна и только одна интегральная кривая системы уравнений (1). Следовательно, при каждом фиксированном x0 общее решение нормальной системы (1) зависит от n параметров. В качестве этих параметров могут выступать значения искомых функций в точке x0 . Поэтому общее решение системы уравнений (1) может быть записано в виде

y1 1 x,C1 ,C2 , ,Cn , y2 2 x,C1 ,C2 , ,Cn ,

……………………

yn n x,C1 ,C2 , ,Cn ,

где C1 ,C2 , ,Cn – произвольные постоянные.

Любое дифференциальное уравнение n -го порядка

можно свести к нормальной системе дифференциальных уравнений. В самом деле, положим

Обратно, пусть задана нормальная система дифференциальных уравнений (87), где функции fi , i 1, n n раз непрерывно дифференцируемы в рассматриваемой об-

ласти D . Эту систему, можно свести к одному дифференциальному уравнению порядка n . На этом основан один из методов интегрирования систем дифференциальных уравнений – метод исключения.

2

Пример. Решить методом исключения задачу Коши

Выразим из первого уравнения z :

z 14 y 34 y .

Тогда

z 14 y 34 y .

Подставляя выражения для z и z во второе уравнение системы, получаем

y 8y 7 y 0 .

Общим решением этого уравнения является функция

y C1e x C2e 7 x .

Отсюда из равенства z 14 y 34 y имеем

z 12 C1e x C2e 7 x .

Удовлетворяя решение начальным условиям, находим

y 2e x 3e 7 x , z e x 3e 7 x . ▲

3

Рассмотрим физический смысл нормальной системы дифференциальных уравнений. Ограничимся случаем системы трех дифференциальных уравнений относитель-

решение этой системы есть некоторая кривая в пространстве с декартовой прямоугольной системой координат Oxyz . Пространство Oxyz называется фазовым пространст-

вом, а интегральная кривая – фазовой траекторией системы (92). Сама система (92)

называется динамической системой.

Динамическая система (92) определяет поле скоростей движущейся в пространстве точки в любой момент времени t . Решение динамической системы x x(t) ,

y y(t) , z z(t) – это уравнения движения точки: они определяют положение движу-

щейся точки в любой момент времени t . Начальные условия задают положение точки в начальный момент времени. Уравнения движения определяют также и траекторию движения, будучи уравнениями этой кривой в параметрической форме.

Динамическая система называется автономной (стационарной), если в правые части уравнений этой системы время t не входит явным образом. Если для автономной системы выполняются условия теоремы существования и единственности решения задачи Коши, то через каждую точку фазового пространства проходит только одна траектория, в отличие от неавтономной системы.

Автономные системы описывают установившиеся (стационарные) движения потока жидкости, газа, заряженных частиц и т.д., то есть те случаи, когда поле скоростей не изменяется с течением времени.

Понятия динамической системы, фазового пространства и фазовой траектории рассматривают и для общего случая нормальных систем вида (87).

Пример. Построить фазовые траектории системы

x y,y x.

В рассматриваемом примере фазовым пространством является плоскость Oxy переменных x, y . Исключая время t из системы уравнений, имеем

Отсюда интегрированием получаем равенство x2 y2 C2 , где C – произвольная постоянная. Это равенство определяет на плоскости Oxy концентрические окружности с центром в точке O 0, 0 . ▲

4

Нормальной линейной однородной системой n -го порядка называется система

В области непрерывности коэффициентов aij ( i, j 1, n ) система (7) удовлетворяет условиям теоремы существования и единственности решения задачи Коши.

Фундаментальной системой решений системы (7) называется совокупность

Если Yk (x) , k 1, n – фундаментальная система решений системы (7), то общее решение системы (7) имеет вид

n

Y (x) CkYk (x) ,

k 1

где C1, C2 , , Cn – произвольные постоянные.

5

В частном случае систем с постоянными коэффициентами, когда матрица A в правой части (8) не зависит от x , для отыскания фундаментальной системы решений

Yk (x) , k 1, n , могут быть использованы методы линейной алгебры.

где E – единичная матрица, O – нулевая матрица-столбец. Равенство (10) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений, неизвестными которой являются элементы матрицы X ( ) . Из условия существования нетривиального решения однородной системы (10) получается уравнение

называемое характеристическим уравнением. Заметим, что корни характеристического уравнения (11) называются собственными значениями матрицы A , а ненулевые

k 1

При этом возможны следующие случаи.

1. – действительный корень кратности 1. Тогда

где X ( ) – собственный вектор матрицы A , соответствующий собственному значению

.

6

2. – комплексный корень кратности 1. Тогда корнем характеристического уравнения (11) является также сопряженное с число . Вместо комплексных частных решений Y ( ) (x) и Y ( ) (x) следует взять действительные частные решения

Y1( ) (x) ReY ( ) (x) и Y2( ) (x) ImY ( ) (x) .

3.– корень кратности r 2 . Соответствующее этому корню решение системы

(8)ищется в виде

коэффициенты которого ij ( i 1, n , j 1, r ) определяются из системы линейных урав-

нений, получающихся приравниванием коэффициентов при одинаковых степенях x в результате подстановки решения (13) в исходную систему (8).

Пример. Решить задачу Коши

k

системы

7

Для нахождения частного решения константы C1 , C2 , C3 определяем из систе-

откуда C1 1, C2 2 , C3 3 . Окончательно для искомого частного решения получаем

9

Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Решения многих дифференциальных уравнений не выражаются в элементарных функциях. В этих случаях пользуются приближенными методами интегрирования дифференциальных уравнений.

1. Метод Эйлера. Пусть требуется решить задачу Коши: найти решение дифференциального уравнения

постоянной xk h const , тогда

xk x0 kh ( k 0,1,2,...,n ).

Заметим, что шаг сетки h задают по заданной предельной абсолютной погрешности с помощью неравенства h2 .

Метод Эйлера основан на непосредственной замене производной разностным

Заметим, что поскольку любое дифференциальное уравнение n -го порядка можно свести к нормальной системе n дифференциальных уравнений, то данный метод применим и для приближенного решения дифференциальных уравнений высшего порядка.

10