08 ЛДУ 2

Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Уравнение вида

в котором a1 , a2 , , an – действительные или комплексные числа, называется линейным

однородным дифференциальным уравнением порядка n с постоянными коэффициентами.

В дальнейшем будем предполагать, что a1 , a2 , , an – действительные числа, и

находить действительные решения уравнения (1).

В соответствии с методом Эйлера решение уравнения (1) будем искать в виде

Уравнение (4) называется характеристическим уравнением для линейного однородного дифференциального уравнения (1).

Из курса линейной алгебры известно, что число различных корней j характеристического уравнения (4) не больше n , но сумма кратностей всех корней равна n . В

e x cos x, xe x cos x, , xs 1e x cos x , e x sin x, xe x sin x, , xs 1e x sin x .

1

Таким образом, для каждого действительного корня, либо пары комплексных корней характеристического уравнения (4) находят соответствующие им линейно независимые решения. Множество найденных линейно независимых решений для всех

корней характеристического уравнения (4) составляют фундаментальную систему решений y1 x , y2 x , , yn x уравнения (1). Тогда общее решение уравнения (1) запишется в виде

где C1 , C2 , , Cn – произвольные постоянные.

Пример 1. Найти общее решение уравнения y y 6y 0 .

Составим характеристическое уравнение

общее решение исходного уравнения имеет вид

y C1 C2e 2 x C3e3x . ▲

Пример 2. Найти общее решение уравнения

y 5 5y 4 8y 8y 7 y 13y 0 .

Характеристическое уравнение

9 1 – корни характеристического уравнения. Записать формулу общего решения

В частном случае, линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го по-

В зависимости от корней 1 и 2 характеристического уравнения (7) получаем общее решение уравнения (6) в виде:

1.y C1e 1x C2 e 2 x , если корни действительны и 1 2 ;

2.y (C1 C2 x)e 1x , если корни действительны и 1 2 , другими словами имеется один корень кратности 2;

3.y (C1 cos x C2 sin x)e x , если корни 1,2 i – комплексные числа;

где C1 , C2 – произвольные постоянные.

Корни действительны и различны, следовательно, общее решение дифференциального уравнения имеет вид

y C1ex C2e4 x .

Для определения произвольных постоянных C1 и C2 найдем производную

y C1ex 4C2e4 x

и используем начальные условия:

Подставляя найденные постоянные C1 и C2 в общее решение, находим частное реше-

ние дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Следовательно, решением задачи Коши будет функция

r 2 . Таким образом, общее решение дифференциального уравнения имеет вид

3

y (C1 C2 x)e x .

Для определения произвольных постоянных C1 и C2 найдем производную

y (C2 C1 C2 x)e x

и используем начальные условия:

Подставляя найденные постоянные C1 и C2 в общее решение, находим частное реше-

ние дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Следовательно, решением задачи Коши будет функция

женных корня 1,2 1 2i . Следовательно, общее решение дифференциального урав-

нения имеет вид

y (C1 cos 2x C2 sin 2x)ex .

Для определения произвольных постоянных C1 и C2 найдем производную

y (C1 2C2 )cos 2x (C2 2C1 )sin 2x ex

и используем начальные условия:

Подставляя найденные постоянные C1 и C2 в общее решение, находим частное реше-

ние дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям. Следовательно, решением задачи Коши будет функция

y (cos 2x 2sin 2x)ex . ▲

4

Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами

Пусть дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами

Как следует из теоремы о структуре общего решения неоднородного уравнения, общее решение уравнения (8) имеет вид

y y * C1 y1 C2 y2 Cn yn ,

где y * – частное решение уравнения (8), а y1, y2 , , yn – фундаментальная система решений соответствующего (8) однородного дифференциального уравнения

способ нахождения которой уже рассмотрен. Поэтому основной задачей при нахождении общего решения является задача отыскания частного решения y * уравнения (8).

Рассмотрим частные случаи для правых частей f x специального вида, когда отыскать частное решение y * уравнения (8) наиболее просто, а именно, рассмотрим

метод подбора частного решения (или метод неопределенных коэффициентов).

где A0 0 .

Если не является корнем характеристического уравнения дифференциального уравнения (9), то частное решение y * дифференциального уравнения (8) с правой частью (10) ищется в виде

уравнения (8) с правой частью (10) ищется в виде

y* xr e x B0 xn B1 xn 1 Bn 1 x Bn .

5

В частном случае формулы (10), при 0 , то есть в случае f x A0 xn A1 xn 1 An 1 x An

частное решение y * следует искать в виде

y* B0 xn B1xn 1 Bn 1x Bn ,

если число 0 не является корнем характеристического уравнения, и в виде

y* xr B0 xn B1 xn 1 Bn 1 x Bn ,

если число 0 является корнем кратности r характеристического уравнения.

Подставляя соответствующее представление частного решения y * в уравнение

(8), сокращая полученное на e x и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях сформированного равенства, находим систему линейных

ное решение y * ищем в виде

y* x B0 x B1 B0 x2 B1 x .

Пример 8. Найти общее решение уравнения y 2y y (4x 12)e x .

характеристического уравнения, то согласно равенству (11) частное решение исходного неоднородного уравнения ищем в виде

Итак, y* e x x 2 , и, таким образом, общее решение исходного уравнения имеет вид

y y0 y* (C1 C2 x)ex x 2 e x . ▲

Рассмотрим более общий случай, пусть правая часть дифференциального уравнения (8) имеет вид

где A0 0 , B0 0 .

Если i не являются корнями характеристического уравнения дифференциального уравнения (9), то частное решение y * дифференциального уравнения (8) с правой частью (12) ищется в виде

y* e x (C0 xk Ck )cos x (D0 xk Dk )sin x ,

где k max( n, m) , C0 , C1 , , Ck , D0 , D1 , , Dk – неизвестные постоянные коэффициенты.

7

Если i – корни кратности r характеристического уравнения дифференциального уравнения (9) (резонансный случай), то частное решение y * дифференциального уравнения (8) с правой частью (12) ищется в виде

y* xr e x (C0 xk Ck )cos x (D0 xk Dk )sin x .

Подставляя соответствующее представление частного решения y * в уравнение

(8), сокращая полученное на e x и приравнивая коэффициенты при одинаковых функциях в левой и правой частях сформированного равенства, находим систему линейных алгебраических уравнений относительно неопределенных коэффициентов C0 , C1 , , Ck , D0 , D1 , , Dk . Решение этой системы определяет вид коэффициентов

C0 , C1 , , Ck , D0 , D1 , , Dk и частное решение уравнения (8).

Пример 9. Найти общее решение уравнения y 3y 2y 8cos 2x 4sin 2x .

Так как корнями характеристического уравнения 2 3 2 0 являются числа 1 1 и 2 2 , то общим решением однородного уравнения y 3y 2y 0 яв-

не являются корнями характеристического уравнения. Поэтому частное решение ищем в виде

y* C cos 2x Dsin 2x .

Отсюда

( 4C cos 2x 4Dsin 2x) 3( 2C sin 2x 2Dcos 2x) 2(C cos 2x Dsin 2x) 8cos 2x 4sin 2x

или

( 2C 6D)cos 2x ( 6C 2D)sin 2x 8cos 2x 4sin 2x .

Отсюда, приравнивая коэффициенты при cos 2x и sin 2x в обеих частях равенства соответственно, получаем систему уравнений

Таким образом, частное решение исходного дифференциального уравнения есть y* cos 2x sin 2x , а его общее решение имеет вид

y y0 y* C1e x C2e-2 x cos 2x sin 2x . ▲

8

9

Метод вариации произвольных постоянных

Метод вариации произвольных постоянных (или метод Лагранжа) позволяет найти общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения

если известна фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения

(14). Тогда по теореме о структуре общего решения однородного уравнения его общее решение имеет вид

где C1, C2 , , Cn – произвольные постоянные.

В соответствии с методом вариации произвольных постоянных будем искать общее решение неоднородного уравнения (13) в виде решения (15), но, считая, что C1, C2 , , Cn есть некоторые дифференцируемые функции переменной x , то есть

i 1

Выберем неизвестные функции Ci x , i 1, n таким образом, чтобы функция (16) удовлетворяла неоднородному уравнению (13). Для этого потребуем, чтобы производные Ci x , i 1, n этих функций являлись решением системы линейных алгебраических уравнений

10