10 11 Числовые ряды
.pdfТЕОРИЯ РЯДОВ
В данном разделе математического анализа понятие суммы обобщается на случай бесконечного числа слагаемых, и изучаются свойства таких сумм.
Числовые ряды. Основные понятия
Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение вида
a1 a2 ... an ... , |
(1) |
где a1 , a2 ,...,an ,... – числовая последовательность. Для ряда также используется обозна-
чения an . Числа a1 , a2 ,...,an ,... называются членами ряда. Ряд (1) считается задан-
n 1
ным, если известен его общий член an , то есть известно правило an f (n) , по которому каждому номеру n ( n 1,2,... ) ставится в соответствие вполне определенный член
ряда. Индекс n принимает все целые значения от 1 до . В некоторых случаях удобнее начинать нумерацию членов ряда не с 1, а с другого целого числа.
Сумма
Sn a1 a2 ... an ,
слагаемыми которой являются первые n членов ряда (1), называется n -ой частичной суммой ряда (1), а ряд
an 1 an 2 ... an k ... ak ,
k n 1
членами которого являются все члены ряда (1), начиная с (n 1) -го, написанные в том же порядке, что и в ряде (1), называется n -ым остатком ряда (1).
Ряд (1) называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм {Sn } сходится. Если ряд не сходится, то говорят, что он расходится.
Если ряд сходится, то предел
S lim Sn
n
называется его суммой. В этом случае пишут
S an .
n 1
Если lim Sn , то соответственно пишут an .
n n 1
Таким образом, вопрос о сходимости ряда (1), равносилен вопросу о существовании конечного предела для последовательности {Sn }. Обратно, какую бы последовательность
b1 ,b2 ,..., bn ,...
ни взять, вопрос о наличии для нее конечного предела может быть сведен к вопросу о сходимости ряда
b1 (b2 b1 ) (b3 b2 ) ... (bn bn 1 ) ...
для которого частичными суммами как раз и будут члены этой последовательности. При этом сумма ряда совпадает с пределом последовательности.
Рассмотрим несколько примером сходящихся и расходящихся рядов.
Пример 1. Исследовать на сходимость ряд
n 1
∆ Разложим на простейшие дробь |
1 |
: |
|
||
x(x 1) |
1 . n(n 1)
|
1 |
|
|
A |
|
|
B |
|
|
A(x 1) Bx |
|
|
|
|
1 A(x 1) Bx |
|
1 ( A B)x A |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(x 1) |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x(x 1) x |
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A 1, |
|
|
|
|
|
|
A 1, |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
. |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(x |
|
|
|
|
|
x 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A B 0, |
|
|
B 1, |
|
|
|
|
|
1) |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Частичную сумму ряда можно записать следующим образом |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
... |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 2 |
|
|
2 3 |
3 4 |
|
|
(n 1) n |
|
n (n 1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
... |
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
1 |
. |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 3 |
|
3 4 |
|
|
|
|
n 1 |
|
n |
n |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
, то есть заданный ряд сходится и его сумма S 1 . ▲ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тогда, lim 1 |
|
|
|
|
1 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Пример 2. Исследовать на сходимость ряд |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qn 1 1 |
q q2 |
... qn 1 ... |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n1
∆Данный ряд представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии, то есть последовательности 1, q, q2 ,..., qn 1,... Частичная сумма данного ряда, то есть сумма n первых членов геометрической прогрессии ( q 1 ) определяется по формуле
2
|
|
S |
n |
1 q q2 |
... qn 1 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim S |
|
lim |
qn 1 |
|
1 |
|
lim qn |
1 |
|||
n |
|
|
|
|
|
|
|
||||
n |
n |
|
q 1 |
|
q 1 n |
1 q |
|||||
|
|
|
qn 1 |
. |
|
|
|
|
|
|
q |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
1, |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
, |
q |
|||
|
|
||||||
1 q |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
|
, |
|
q |
|
1. |
||
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если q 1 , то |
ряд 1 1 ... 1 ... имеет частичную сумму Sn |
Если q 1 , то ряд |
1 1 ... ( 1)n ... имеет частичные суммы |
( k 1,2,... ) и, следовательно, lim Sn не существует.
n
n и lim Sn .
n
S2k 1 1, |
S2k 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, если |
|
q |
|
1 , |
то ряд qn 1 расходится, если же |
|
q |
|
1 , то ряд |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||
qn 1 сходится и его сумма равна |
. ▲ |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
||||||
1 q |
|
|
|
|
||||||
n 1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
Согласно определению, вопрос о сходимости ряда тождественен с вопросом о существовании конечного предела для последовательности частичных сумм {Sn }. При
изучении числовых последовательностей был установлен принцип сходимости для последовательностей, дающий общее условие, необходимое и достаточное для существования предела последовательности (критерий Коши).
Теорема 1 (критерий Коши для последовательности). Для того чтобы последо-
вательность {Sn } была сходящейся, необходимо и достаточно, чтобы для любого по-
ложительного числа нашелся номер N такой, что для всех номеров n N неравенство
Sn p Sn
выполнялось при любом натуральном p .
Перефразируя этот принцип применительно к последовательностям частичных сумм ряда, получим следующий критерий.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 2 (критерий Коши для ряда). Для того чтобы ряд an |
сходился, необ- |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
ходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа нашелся номер N |
||||||||
такой, что для всех номеров n N неравенство |
|
|
|
|||||
|
Sn p Sn |
|
|
|
an 1 an 2 ... an p |
|
|
(2) |
|
|
|
|
выполнялось при любом натуральном p .
Таким образом, критерий Коши утверждает, что для сходимости ряда нужно, чтобы суммы достаточно далеких членов ряда оказывались сколь угодно малыми, независимо от того, сколько их ни взять. Докажем с помощью критерия Коши, что гармо-
|
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
нический ряд |
1 |
|
|
... расходится. |
||||
n |
2 |
3 |
||||||
n 1 |
|
|
|
3
Положим в критерии Коши для гармонического ряда p n , тогда
S |
|
|
S |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
... |
1 |
|
1 |
|
1 |
... |
1 |
n |
1 |
|
1 |
. |
|
|
||||
2n |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
n 2 |
2n 2n 2n |
2n |
|
2n 2 |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Таким образом, |
S |
|
S |
|
|
1 |
|
для любого номера n , то есть если положить |
1 |
, то не |
||||||||||||||||||||
2n |
n |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
найдется номера |
|
N , |
чтобы при |
n N |
выполнялось неравенство (2). Следовательно, |
для гармонического ряда не выполняется критерий Коши и этот ряд расходится.
Используя определение сходимости ряда, свойства предела последовательности
икритерий Коши можно доказать следующие основные свойства сходящихся рядов.
1.Если сходится ряд (1), то сходится и любой из его остатков. Верно и обратное утверждение, из сходимости остатка вытекает сходимость исходного ряда.
Таким образом, отбрасывание конечного числа начальных членов или присоединение в начале его нескольких новых членов не отражается на сходимости ряда.
2.Если ряд (1) сходится, то сумма его n -го остатка стремиться к нулю при
n .
3.Если члены сходящегося ряда (1) умножить на один и тот же множитель c , то
сходимость ряда не нарушится, а сумма S умножится на c .
|
|
|
|
|
|
4. Если ряды an |
и bn сходятся, то ряды (an bn ) также будут сходиться, |
||||
n 1 |
n 1 |
|
n 1 |
|
|
а их сумма |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(an bn ) an bn . |
|
|
||
|
n 1 |
n 1 |
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Обратное утверждение неверно, |
то есть из сходимости ряда (an bn ) |
или |
|||
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
(an bn ) не следует |
сходимость |
рядов |
an и |
bn . Например, |
ряд |
n 1 |
|
|
n 1 |
n 1 |
|
(1 1) (1 1) ... (1 1) ... сходится, так как все члены равны нулю, но выражение
|
|
1 1 не имеет смысла, так как оба ряда расходятся. |
|
n 1 |
n 1 |
Замечание. Если ряд a1 a2 ... an ... сходится, то члены его можно любым образом сгруппировать скобками (не переставляя), например,
a1 (a2 a3 ) (a4 a5 a6 ) ...
образуя новый ряд, члены которого равны суммам чисел стоящих в скобках. Новый ряд будет сходиться и притом к той же сумме. Обратное неверно, то есть раскрывать скоб-
ки в ряду, вообще говоря, незаконно, например, если убрать скобки в ряду
(1 1) (1 1) ... (1 1) ... , то получим расходящийся ряд.
4
5. (необходимый признак сходимости) |
Общий член an |
сходящегося ряда стре- |
|||
мится к нулю при n . |
|
|
|
|
|
Необходимый признак сходимости применяется для установления расходимости |
|||||
|
|
|
|
|
|
ряда, то есть, если выполняется условие lim an |
0 , то ряд an |
расходится. |
|||
n |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 2 |
|
|
|
Пример 3. Исследовать на сходимость ряд n ln |
|
. |
|||
|
|||||
|
n 1 |
n 1 |
|
|
∆ Проверим для данного ряда выполнение необходимого признака сходимости:
lim n ln n 2 |
|
lim ln n 2 |
|
n |
|
|
|
|
(n 1) |
n |
|
|
n |
|
|||||
|
|
lim ln 1 |
1 |
n 1 |
|
ln e 1 0 , |
|||||||||||||
|
|
ln en n 1 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
n |
n 1 |
|
n |
n 1 |
|
|
n |
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
следовательно, ряд расходится. ▲
Однако условие lim an 0 не является достаточным, то есть при его выполнении
n
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ряд an может и расходиться. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Пример 4. Исследовать на сходимость ряд ln 1 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
∆ |
Заметим, |
|
|
что |
|
|
|
|
|
|
для |
|
данного |
ряда |
|
|
|
выполняется |
условие |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim an lim ln 1 |
|
|
ln1 0 , докажем, что тем не менее, этот ряд расходится. Запишем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n |
n |
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выражение для частичной суммы ряда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|||||||||||||||
Sn |
ln 1 |
|
ln 1 |
|
|
|
ln 1 |
|
|
|
|
... ln 1 |
|
|
ln |
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
... 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
4 |
|
|
n |
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... |
|
|
|
|
|
ln(n 1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
n 1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Если теперь в полученном равенстве перейти к пределу при n , то получим, что |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim Sn |
lim ln(n 1) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Следовательно, ряд ln 1 |
|
|
|
расходится. ▲ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5
Сходимость знакоположительных рядов
Изучим сходимость рядов все члены которых действительные положительные числа, такие ряды называются знакоположительными.
Теорема 3. Пусть все члены ряда
|
|
an |
(3) |
n 1
положительны, тогда для того, чтобы сходился ряд (3) необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена сверху, причем, если S – сумма ряда, а Sn – n -я частичная сумма, то
S sup Sn .
n 1,2,...
∆ Для доказательства необходимости заметим, что если ряд (3) сходится, то сходится последовательность его частичных сумм, а всякая сходящаяся последовательность ограничена.
Установим теперь достаточность. Поскольку все члены ряда (3) положительны,
то
Sn 1 Sn an 1 Sn ,
то есть последовательность частичных сумм {Sn } является монотонно возрастающей, и поэтому она сходится тогда и только тогда, когда она ограничена сверху. Кроме того,
если lim Sn S , то S sup Sn . ▲ |
|
n |
n 1,2,... |
|
Используя теорему 3 можно установить связь между сходимостью рядов с положительными членами и несобственных интегралов от положительных функций.
Теорема 4 (интегральный признак сходимости рядов). Если функция |
f (x) , оп- |
ределенная при всех x 1 положительна и монотонно убывает, то ряд |
|
|
|
f (n) |
(4) |
n 1 |
|
сходится тогда и только тогда, когда сходится интеграл |
|
|
|
f (x)dx . |
(5) |
1 |
|
∆ Пусть k x k 1, тогда в силу монотонного убывания f (x) справедливо
f(k 1) f (x) f (k) , k 1,2,... ,
ипоэтому для площади криволинейной трапеции (рис. 1) можно записать
6
k 1 |
|
|
|
|
f (k 1) |
f (x)dx f (k) , k 1,2,... |
|
|
|
k |
|
|
|
|
Суммируя эти неравенства от k 1 |
до k n , полу- |
|
||
чим |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
Sn 1 f (1) |
f (x)dx Sn , n 1,2,... |
(6) |
|
|
|
1 |
|
|
|
Если интеграл (5) сходится, то при любом n |
спра- |
Рис. 1. |
||
|
||||
ведливо неравенство |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
f (x)dx |
f (x)dx . |
(7) |
|
1 |
|
1 |
|
Из неравенств (6) и (7) следует |
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
Sn 1 f (1) f (x)dx f (1) f (x)dx , |
|
||
|
|
1 |
1 |
|
то есть последовательность {Sn } ограничена сверху и согласно теореме 3 ряд (4) сходится.
|
С |
другой стороны из теоремы |
3 следует, |
что если ряд (4) сходится, то |
n : Sn |
S , где S – сумма ряда. Тогда из (6) следует |
|
||
|
|
n 1 |
|
|
|
|
f (x)dx Sn S . |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Полагая теперь z 1, причем так чтобы n z |
( n N ), получим в силу положи- |
||
тельности |
f (x) : |
|
|
|
|
|
z |
n |
|
|
|
f (x)dx f (x)dx S . |
||
|
|
1 |
1 |
|
z |
|
|
|
|
|
|
|
Итак, совокупность всех интегралов f (x)dx |
( z 1) ограничена сверху, а потому инте- |
||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
грал (5) сходится. ▲ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
|
||||
Пример 5. Исследовать на сходимость ряд |
|
|
|
. |
|||
n2 |
n |
||||||
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 1 |
|
|||
∆ Рассмотрим интеграл f (x)dx , где |
f (x) |
|
. Используя определение не- |
||||
|
|
|
|
|
|||
|
x |
2 |
x |
||||
1 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
собственного интеграла, получаем
7
|
2x 1 |
dx lim c |
2x 1 |
dx lim |
c d (x2 |
x) |
lim |
ln |
|
c2 c |
|
ln 2 , |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
x2 x |
|
|
c x2 |
x |
c |
|
x2 x |
|
c |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2n 1 |
||||||||||||
то есть интеграл |
|
|
dx |
расходится, и по теореме 4 ряд |
|
расходится. ▲ |
||||||||||||||||||||||||||||||
x2 |
x |
n2 n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 6. Исследовать на сходимость ряд |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∆ Для установления сходимости ряда воспользуемся интегральным признаком. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пусть 1, тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
, |
1 0, |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
lim |
|
dx |
lim |
c |
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 0, |
|||||||||||
1 |
|
x |
|
c |
1 |
x |
|
|
c 1 |
1 |
|
|
|
|
|
, |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
то есть ряд сходится при 1 и расходится при 1. При 1 получаем гармонический ряд, который согласно критерию Коши расходится.
|
1 |
|
|
|
Таким образом, ряд |
сходится при |
1 и расходится при 1. ▲ |
||
n |
||||
n 1 |
|
|
||
Теорема 5 (признак сравнения рядов). Пусть даны два ряда с положительными |
||||
членами |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an |
(А) |
|
|
|
n 1 |
|
|
и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
bn . |
(В) |
n 1
Если an bn ( n 1,2,... ), то из сходимости ряда (В) следует сходимость ряда (А); а из расходимости ряда (А) следует расходимость ряда (В).
∆ Пусть ряд (В) сходится и S его сумма, тогда
N N
an bn S ( N 1,2,...),
n 1 n 1
то есть частичные суммы ряда (А) ограничены и ряд (А) сходится по теореме 3.
Если знакоположительный ряд (А) расходится, то его частичные суммы неограниченно возрастают при росте n . В силу an bn будут справедливы неравенства
N |
N |
|
an |
bn |
( N 1,2,...), |
n 1 |
n 1 |
|
то есть частичные суммы ряда (В) неограниченно возрастают, и, следовательно, ряд (В) расходится. ▲
8
На практике более эффективен следующий признак сравнения.
Теорема 6 (предельный признак сравнения рядов). Если для знакоположительных рядов (6) и (7)
lim an K ,
n bn
то из сходимости ряда (В) при 0 K следует сходимость ряда (А); а из расходимости ряда (А) при 0 K следует расходимость ряда (В).
Замечание. При 0 K оба ряда сходятся или расходятся одновременно.
∆ Из существования предела lim an K , следует, что для любого положитель-
n bn
ного числа найдется такой номер N , что для любого n N справедливо неравенство
an K . Нетрудно показать, что bn
an |
K |
|
|
K |
an |
K |
|
(K )b |
a |
|
(K )b . |
(8) |
bn |
|
|
|
bn |
|
n |
|
n |
n |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Из свойства 3 сходящихся рядов следует, что вместе с рядом (В) будет сходится
|
|
ряд (K )bn , а тогда с учетом неравенства (8) в силу теоремы 5 следует, что ряд (А) |
|
n 1 |
|
сходится. |
|
Если ряд (В) расходится и K 0 , то в этом случае обратное отношение |
bn име- |
|
an |
ет конечный предел. Тогда, если предположить, что ряд (А) сходится, то по доказанному признаку должен сходится ряд (В), то есть приходим к противоречию. Следовательно, ряд (А) расходится. ▲
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 7. Исследовать на сходимость ряд |
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1 n2 |
n4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
∆ Проведем сравнение данного ряда с гармоническим рядом |
, который со- |
|||||||||||||||||||||||||||
n |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
||
гласно примеру 6 расходится. Вычислим предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 n2 n4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
K lim |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 . |
|
||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
n |
|
|
|
n |
1 n2 n4 |
n |
1 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n2 |
|
n4 |
|
|
|
|
|
n |
|
Так как гармонический ряд расходится и K 1, то по теореме 6 ряд |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
||
1 n2 n4 |
|
|||
|
n 1 |
|
||
расходится. ▲ |
|
|
|
|
9
На основе сравнения исследуемого ряда с рядом составленным из членов геометрической прогрессии строятся признаки Коши и Даламбера. Рассмотрим предельную форму данных признаков.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Теорема 7 (признак Даламбера). Если члены знакоположительного ряда an |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
таковы, что существует предел |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
an 1 |
|
A , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(9) |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n a |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
то при 0 A 1 |
данный ряд сходится, при |
A 1 – |
|
расходится, а при |
A 1 – данный |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
признак не может установить сходимость ряда. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n!) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 8. Исследовать на сходимость ряд |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
(2n)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
∆ Найдем для данного ряда предел (9): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
A lim |
[(n 1)!]2 |
|
: |
(n!)2 |
|
lim |
[(n 1)!]2 (2n)! |
|
lim |
|
[1 2 ... n (n 1)]2 (1 2 ... 2n) |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
... 2n (2n 1) (2n 2)](1 2 ... n)2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||
n [2(n 1)]! |
|
(2n)! |
n (2n 2)!(n!)2 |
|
|
|
|
|
n [1 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n 1)2 |
|
|
|
|
n2 |
2n 1 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
lim |
|
|
lim |
|
|
|
lim |
n |
n2 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
4n2 6n 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
n (2n 1) (2n 2) |
n |
|
n |
|
|
6 |
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
n2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(n!) |
2 |
|
|
|
|
|||||
Получили A |
|
1, следовательно, по признаку Даламбера ряд |
|
|
сходится. ▲ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n 1 |
(2n)! |
|
|
|
3n n!
Пример 9. Исследовать на сходимость ряд .
n 1 nn
∆ Найдем для данного ряда предел (9): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
3n 1 (n 1)! |
|
3n n! |
|
|
3n 1 |
(n 1)!nn |
|
|
|
3 3n 1 2 ... n (n 1) nn |
|||||||||||||||||||||
A lim |
|
|
|
: |
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(n 1) |
n 1 |
n |
n |
|
|
|
n 1 |
3 |
n |
|
|
|
|
|
n |
(n 1) |
3 |
n |
1 |
|
||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
n (n 1) |
|
|
n! |
n (n 1) |
|
|
|
2 ... n |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 lim |
|
nn |
|
3 lim |
|
1 |
|
|
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
n (n 1)n |
|
|
|
n |
|
1 |
|
e |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что при вычислении предела использовали второй замечательный предел
|
|
|
|
|
1 n |
|
A |
3 |
1, следовательно, по признаку Даламбера ряд |
||
lim 1 |
|
|
e . Итак, получили |
|
|
||||||
|
|
|
|||||||||
n |
|
|
|
n |
|
|
e |
|
|||
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
n! |
|
расходится. ▲ |
|
|
|
|
||
|
|
n |
|
|
|
|
|||||
n 1 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10