Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Саратовский Государственный Технический Университет им. Ю.А. Гагарина

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

10 11 Числовые ряды

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

12.02.2015

Размер:

487.33 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

Теорема 8 (признак Коши). Пусть

			A .
	limn a	n	A .
	n	n
	n

Тогда знакоположительный ряд an сходится при				0 A 1 , расходится при	A 1,

n 1

при A 1 установить сходимость ряда с помощью данного признака нельзя.

5n n2

Пример 10. Исследовать на сходимость ряд . n 1 2 5n

∆ Проверим выполнение признака Коши, для этого вычислим предел

A lim n an

			1
	5n	n 2		n
	5n
lim
lim

n	2 5n

	5n n		2 5n 2 n
lim		lim

n	2 5n	n	2 5n

2 5n

lim 1

e 5 .

(2 5n)

При решении здесь использован второй замечательный предел. Таким образом, по-

скольку

A e

1, то ряд

сходится. ▲

n 1

2 5n

Пример 11. Исследовать на сходимость ряд an , где

для нечет-

n 1

2n 1

ных n ,

для четных n .

∆ Найдем все частичные пределы для последовательности {n

}. Для нечетных

членов ряда имеем


A1	lim n an	lim
A1	lim n an	lim
	n	n
	n нечет
	n нечет

Для четных членов ряда, соответственно,

	1
n	n	n		n	1
			lim
						.

2n 1			n 2n 1 2

получаем

A2 lim n an

lim

n 3n 2 3

n чет

Последовательность {n

} имеем два частичных предела

, при-

чем A A , следовательно

. Так как, A

A limn a

то по признаку Коши

ряд an сходится. ▲

n 1

Замечание. При использовании признака Коши иногда оказывается полезна сле-

дующая формула Стирлинга:


		n	n
		n		e12n , 0 1 .
n!	2 n
n!	2 n
		e

2n n!

Пример 12. Исследовать на сходимость ряд .

n 1 nn

∆ Имеем:

n n

A limn an

lim

e12n

то есть данный ряд сходится. ▲

2		1	2
	lim(2 n) 2n e12n2			1,
e			e
	n

В тех случая, когда признаки Даламбера и Коши не дают ответа, используют другие признаки, в которых исследуемый ряд сравнивают с рядами, сходящимися или расходящимися «медленнее» чем геометрическая прогрессия. Рассмотрим признак Раа-

бе, основанный на сравнении с рядом .

n 1 n

Теорема 9 (признак Раабе). Пусть существует предел

	a	n 1
lim n 1		n 1	R .	(10)
lim n 1			R .	(10)
n	an
	an


Тогда при R 1 знакоположительный ряд	an сходится, при R 1 ряд расходится,
	n 1
при R 1 установить сходимость ряда с помощью данного признака нельзя.
Если сравнить признак Раабе с признаком Даламбера, то случай 0 A 1 для
признака Даламбера соответствует случаю	R признака Раабе, а случай			A 1 со-

ответствует R . Все остальные значения R (исключая R 1), также дающие ответ о сходимости ряда по признаку Раабе, соответствуют случаям, когда в признаке Даламбера A 1 и установить сходимость нельзя.

(2n)!

Пример 13. Исследовать на сходимость ряд

n 1 2

(n!)

an 1

∆ Для данного ряда можно показать, что lim

и limn a

, следователь-

n a

но, признаки Даламбера и Коши не позволяют установить сходимость этого ряда. Учитывая, что

a	n 1		(2n 2)! 22n (n!)2		(2n 1) (2n 2)	2n 1

			22n 2 [(n 1)!]2		4 (n 1)2	2n 2
a		n		(2n)!

найдем предел (10):

R lim n	1	2n 1	lim	n	1	.

			n 2n 2 2
n		2n 2

	1				(2n)!
Таким образом, поскольку R	1	1, то по признаку Раабе ряд			(2n)!		рас-
Таким образом, поскольку R	2	1, то по признаку Раабе ряд			2n	2	рас-
	2		n 1	2	(n!)

ходится. ▲

Сходимость знакопеременных рядов

Ряд, члены которого могут быть как положительными, так и отрицательными числами называется знакопеременным.

В критерии Коши было сформулировано общее условие, необходимое и достаточное для сходимости ряда, члены которого принимают любые значения. Однако, изучение сходимости ряда при помощи критерия Коши чаще всего вызывает затруднения, поэтому представляет интерес изучение случаев, когда вопрос решается с помощью более простых средств. В предыдущей теме изучались знакоположительные ряды, для них сходимость устанавливалась достаточно легко. Рассмотрим случаи, когда вопрос о сходимости знакопеременного ряда приводит к вопросу о сходимости знакоположительного ряда.


Ряд an	называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд	an	.

n 1	n 1

Теорема 10. Если ряд сходится абсолютно, то он сходится.

Доказательство теоремы основывается на рассмотрении неравенства

an 1 an 2 ... an p	an 1	an 2	...	an p
an 1 an 2 ... an p	an 1	an 2	...	an p

применительно к критерию Коши.

sin n

Пример 14. Исследовать на сходимость ряд

n 1

∆ При k ,

k Z сходимость ряда очевидна, так как в этом случае все члены

sin n

ряда равны нулю. Пусть теперь k ,

k Z , рассмотрим ряд

. Из неравен-

n 1

ства

sin n

( n 1,2,... )

sin n

следует, что ряд

сходится по признаку сравнения, так как сходится ряд

n 1

sin n

(пример 6). Из сходимости ряда

по теореме 10 будет сходится ряд

n 1

sin n

. ▲

n 1

Укажем свойства абсолютно сходящихся рядов.


1. Если ряд an	сходится абсолютно, то ряд составленный из тех же членов,
n 1

что и ряд an , но взятых в другом порядке также сходится абсолютно и имеет ту же
n 1
сумму.

2. Если ряд an абсолютно сходится и C – произвольное число, то ряд Can
n 1						n 1
также абсолютно сходится.

3. Если ряды an	и bn	абсолютно сходятся, то их сумма (an bn ) также
n 1	n 1					n 1
абсолютно сходится.

4. Если ряды an	и bn	абсолютно сходятся, то ряд, полученный из всевоз-
n 1	n 1
можных попарных произведений anbm			членов этих рядов, расположенных в произволь-
ном порядке, также абсолютно сходится, если сумма такого ряда равна S , то

		S	an		bn .
		n 1		n 1

Таким образом, из абсолютной сходимости ряда следует сходимость ряда. Одна-

ко, если ряд не сходится абсолютно, то есть расходится ряд

расходимость ряда an .

n 1

an , отсюда не следует

n 1


Если ряд an	сходится, а ряд	an	расходится, то в этом случае ряд an на-

n 1	n 1		n 1

зывается условно сходящимся.

Замечание. Для установления абсолютной сходимости ряда можно воспользоваться любым признаком сходимости знакоположительного ряда. Однако эти признаки не дают возможность установить условную сходимость ряда. Заметим также, что признаки Даламбера и Коши можно применять для решения вопроса о расходимости знакопеременного ряда.

Отметим одно важное свойство условно сходящихся рядов.

Теорема 11 (Римана). Если ряд сходится условно, то каково бы ни было число A , можно так переставить члены этого ряда, чтобы сумма получившегося ряда будет равной A .

Рассмотрим три признака сходимости ряда, которые могут применяться в случае условной сходимости. Первый признак применяется для одного специального, но очень важного типа рядов, называемых знакочередующимися, среди которых есть условно сходящиеся.

Ряд называется знакочередующимся, если его члены имеют поочередно, то положительный, то отрицательный знаки:

a a	2	a	a	4	... ( 1)n 1	a	n	...,	(11)
1	2	3		4			n

где n : an 0 .

Теорема 12 (признак Лейбница). Если члены знакочередующегося ряда (11) монотонно убывают по абсолютной величине:

n : an an 1 ,

и стремятся к нулю

lim an 0 ,

то ряд (11) сходится.

∆ Рассмотрим частичную сумму четного порядка S2n :

S2n (a1 a2 ) (a3 a4 ) ... (a2n 1 a2n ) .

Так как каждая скобка положительное число, то отсюда следует, что с ростом n сумма S2n возрастает. С другой стороны

S2n a1 (a2 a3 ) ... (a2n 2 a2n 1 ) a2n ,

то очевидно неравенство S2n a1 , то есть сумма ограничена сверху. Таки образом, последовательность {S2n } четных сумм монотонно возрастает и ограничена сверху, а, следовательно, сходится:

lim S2n S .

Переходя к частичной сумме нечетного порядка S2n 1 , имеем

S2n 1 S2n a2n .

Так как общий член стремится к нулю при n , то

lim S2n 1 lim(S2n a2n ) S . ▲

n n

Замечание. При доказательстве теоремы, показано, что S2n приближаются к сумме S ряда возрастая. Кроме того,

S2n 1 a1 (a2 a3 ) ... (a2n 2 a2n 1 ) ,

то есть суммы нечетного порядка стремятся к S убывая. Таким образом,

S2n S S2n 1 .

В частности
0 S a1 .	(12)

Данное неравенство позволяет дать простую оценку для остатка ряда (11) (причем остаток тоже представляет собой знакочередующийся ряд). Если обозначить остаток ряда

rn ( 1)n 1[an an 1 ...] ,

то в силу (12) можно записать

0 rn an .

Таким образом, остаток ряда (11) имеет знак своего первого члена и меньше его по абсолютной величине.

Пример 15. Исследовать на сходимость ряд ( 1)n 1

n 1

∆ Ряд, составленный из модулей членов исходного ряда, представляет собой

гармонический ряд

, который расходится. Однако, знакопеременный ряд

n 1

( 1)n 1

... ( 1)n 1

...

n 1

сходится по признаку Лейбница, так как

lim

0 .

n 1

n n

Таким образом, ряд ( 1)n 1

сходится условно. ▲

n 1

Теорема 13 (признак Дирихле). Пусть задан ряд

anbn .

(13)

n 1

Если выполнены условия:

1) частичные суммы

a1 a2

... an

ограничены в совокупности, то есть

найдется такое положительное число

M , что при любом n

будет справедливо нера-

венство

M ;

0 ;

2) последовательность {bn } монотонно убывает и lim bn

то ряд (13) сходится.

перь

sin nx

Пример 16. Исследовать на сходимость ряд

, x R .

n 1

∆ Если x m ,

m Z , то все члены ряда равны нулю и ряд сходится. Пусть те-

x m ,

m Z . Рассмотрим частичную сумму

sin kx

2sin(x 2)sin kx

cos k

x cos k

k 1

2sin(x 2) k 1

cos

... cos n

x cos n

2sin(x 2)

cos

cos n

2sin(x 2)

sin(x 2)

То есть, частичные суммы S ограничены в совокупности

sin(x 2)

Последовательность

монотонно убывает и

lim

следовательно, по

n n

sin nx

признаку Дирихле ряд

сходится. ▲

n 1

Теорема 14 (признак Абеля). Пусть задан ряд (13), тогда, если сходятся ряд an

n 1

и последовательность {bn } , то ряд (13) сходится.

nn 1

Пример 17. Исследовать на сходимость ряд ( 1)n 1

(n 1)

n 1

∆ Данный ряд можно переписать в виде

nn 1

( 1)n 1

anbn , где

(n 1)

n 1

Ряд ( 1)n 1

сходится по признаку Лейбница (пример 14). Рассмотрим предел по-

n 1

следовательности {bn } :

n 1

lim

n 1

lim

e 1 .

Получили, что ряд an

и последовательность {bn } сходятся, следовательно, по при-

n 1

nn 1

знаку Абеля ряд ( 1)n 1

сходится. ▲

(n 1)

n 1

<<< < Предыдущая 12 / 22

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
12.02.2015148.99 Кб81. ГОС & ПРАВО 2011.doc
#
18.08.20192.11 Mб781. ОСНОВЫ ГЕОДЕЗИИ И КАРТОГРАФИИ.doc
#
14.09.2019147.46 Кб91. Формовка в опоках и заливка форм.doc
#
12.02.2015296.96 Кб311. ЭХ-Коррозия.doc
#
29.03.2016785.41 Кб321.Архитектура.doc
#
12.02.2015487.33 Кб1610 11 Числовые ряды.pdf
#
12.02.201516.46 Кб7810. Архитектурные шаблоны проектирования.docx
#
15.03.2015160.26 Кб3110.doc
#
12.02.201565.62 Кб6106403f право (2).docx
#
12.02.2015241.9 Кб123106404 (1) (2).docx
#
12.02.2015526.03 Кб1612 13 Функциональные ряды.pdf