1.2.3. Меры расхождений и методы приближений
Оценкой близости аппроксимирующей функции (математической модели зависимости) и эмпирических данных являются те или иные меры расхождения.
Минимизация меры расхождения отвечает соответствующему методу приближения.
1. Метод наименьших квадратов (least square technique) – это метод практического построения уравнения регрессии, в котором, условные средние арифметические зависимой переменной (3), вычисляются из условия (5).
В методе наименьших квадратов сумма квадратов разностей зависимой переменной yi и аппроксимирующей функции (xi) – это мера расхождений, которая минимизируется.
Из условия (5) находятся неизвестные параметры заданной аппроксимирующей функции (xi), однако вопрос выбора ее общего вида при этом не решается.
2. Неквадратичные методы приближения состоят в минимизации в качестве мер расхождений:
– степеней s любого порядка абсолютных разностей зависимой переменной yi и (xi)
;
(6)
– максимальных абсолютных разностей значений зависимой переменной yi и (xi)
|yi – (x i)| max = min. (7)
На минимизации меры расхождения (6) при s = 1 основан метод наименьших модулей; при s = 3 / 2 – метод Джексона.
На минимаксном подходе (7), то есть минимизации максимального уклонения, основан метод равномерного приближения по Чебышеву.
Следовательно, аппроксимация эмпирической зависимости не обязательно является регрессией, и мера расхождений не обязательно сумма квадратов разностей зависимой переменной и аппроксимирующей функции.
1.3. Задача аппроксимации и принципы оптимального решения
Задача аппроксимации (моделирования) эмпирических зависимостей во многих отношениях, начиная с постановки, является неопределенной. Неопределенность и неоднозначность задачи предполагают поиск предпочтительного (оптимального) решения.
1.3.1. Постановка задачи аппроксимации эмпирической зависимости
Целью аппроксимации эмпирической зависимости, если она реальна, является построение приближения к неизвестной, но объективно существующей истинной зависимости для явно не заданных значений регулярной составляющей экспериментальных данных.
Поскольку регулярная составляющая экспериментальных данных явно не задана, то исходить приходится из имеющихся эмпирических значений.
Задача аппроксимации эмпирической зависимости ставится следующим образом.
Найти такое приближение к эмпирическим данным, которое:
– минимизирует расхождение с явно не заданной регулярной составляющей зависимой переменной;
– адекватно неизвестной истинной зависимости, представлениям о ее сущности и проявляющимся математическим свойствам;
– имеет остатки, которые не противоречат распределению случайной составляющей.
Ключевым в постановке задачи является требование минимизации расхождения не с эмпирическими значениями зависимой переменной, а с их явно не заданной регулярной составляющей. При этом фактическое расхождение с эмпирическими данными должно быть не минимальным, но и не слишком большим, то есть оптимальным, которое обеспечивает соответствие статистических свойства остатков распределению случайной составляющей.