- •1. Введение в статистику связей случайных величин
- •1.1. Краткие сведения об используемых понятиях и терминах
- •1.1.1. Эмпирические данные
- •1.1.2. Стохастическая эмпирическая зависимость случайных величин
- •1.1.3. Математическая модель эмпирической зависимости и ее остатки
- •1.1.4. Зависимая и независимая переменные эмпирической зависимости
- •1.2. Основные методы построения стохастической зависимости
- •1.2.1. Корреляционный анализ
- •1.2.2. Регрессионный анализ
- •1.2.3. Меры расхождений и методы приближений
- •1.3. Задача аппроксимации и принципы оптимального решения
- •1.3.1. Постановка задачи аппроксимации эмпирической зависимости
- •1.3.2. Неопределенность и неоднозначность задачи аппроксимации
- •1.3.3. Оптимальное приближение эмпирической зависимости
- •2. Основы линейного приближения стохастической зависимости
- •2.1. Задача линейного приближения при парной связи
- •2.1.1. Виды математических моделей парной линейной зависимости
- •2.1.2. Неопределенность задачи построения линейной модели
- •2.1.3. Правила оптимального решения задачи линейной аппроксимации
- •2.2. Оценка реальности парной линейной связи и ее тесноты
- •2.2.1. Случайное рассеяние и неопределенность парной линейной связи
- •2.2.2. Корреляционное отношение – показатель тесноты связи
- •2.2.3. Ковариация – признак линейной стохастической связи
- •2.2.4. Коэффициент корреляции – показатель силы линейной связи
- •2.2.5. Коэффициент детерминации – показатель определенности связи
- •2.2.6. Интерпретация линейной корреляции
- •2.3. Методы определения параметров линейной модели
- •2.3.1. Суть и эффективность методов определения параметров модели
- •2.3.2. Максимально правдоподобные меры расхождения
- •2.4. Качество линейной модели эмпирической зависимости
- •2.4.1. Значимость и доверительные интервалы параметров регрессии
- •2.4.2. Доверительные интервалы линейной эмпирической зависимости
- •2.4.3. Дисперсия и доверительная область прогнозных оценок
- •2.4.4. Оценка адекватности линейной модели
- •3. Компьютерный практикум
- •3.1. Исходные данные для построения парной зависимости
- •3.1.1 Регулярная составляющая аукционных цен
- •3.1.1. Случайная составляющая аукционных цен
- •3.1.3. Линейное приближение зависимости и его приложения
- •3.2. Линейное приближение парной зависимости в Excel
- •3.2.1. Ввод данных
- •3.2.2. Оценка тесноты линейной связи
- •3.2.3 Построение регрессии процедурой вывода тренда на график
- •3.2.4. Вывод параметров линейной регрессии встроенными функциями
- •3.2.5. Оценки качества линейной модели
- •3.2.6. Оценка регрессии и ее качества встроенной функцией линейн
- •3.2.7. Применение процедуры Регрессия для линейной модели
- •3.6. Вопросы для самопроверки
Экономико-математические методы и модели
2010-11 учебный год, 5-я тема:
ЛИНЕЙНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ПАРНОЙ ЭМПИРИЧЕСКОЙ ЗАВИСИМОСТИ
Тема включает основы знаний и компьютерный практикум по математическому моделированию парных линейных эмпирических зависимостей в экономике и технике.
1. Введение в статистику связей случайных величин
Показатели, используемые в технике, экономике и других областях, взаимосвязаны. Примерами парных связей являются зависимости цены товара от спроса на него, сила тока в электрической цепи – от напряжения, тормозного пути автомашины от ее скорости и т.д.
1.1. Краткие сведения об используемых понятиях и терминах
Исследование связей (эмпирических зависимостей) между изучаемыми явлениями выполняется по результатам их наблюдений (регистрации) и базируется на положениях теории вероятностей, математической статистики и теории ошибок.
1.1.1. Эмпирические данные
Величины, между которыми рассматривается связь, являются количественными характеристиками изучаемого явления – результатами наблюдений (регистрации) и называются эмпирическими данными (empirical data).
Эмпирические данные, как результаты наблюдений, то есть измерений, включают их ошибки и случайные колебания, которые вызываются множеством неучтенных факторов, и чаще всего входят аддитивно (добавляются к истинным значениям или вычитаются из них). При случайном мультипликативном искажении истинных значений (умножением или делением) достаточно перейти к логарифмам эмпирических данных. Так или иначе, эмпирические данные – это сумма явно не выделенных регулярной (детерминированной) и случайной составляющих.
1. Регулярная (детерминированная) составляющая эмпирического значения является его закономерной частью, которая отражает сущность изучаемого явления (его истинную величину).
Регулярная составляющая однозначно определяется учитываемыми причинно-следственными связями с другими величинами, и остается неизменной при независимых повторных измерениях эмпирического значения.
В связи с этим методика наблюдений часто предусматривает независимые многократные измерения. При этом в используемом среднем значении уменьшается доля случайного, возрастает доля и надежность регулярной части.
2. Случайная составляющая эмпирического значения – та его часть, которая складывается из случайных отклонений от закономерной (регулярной) составляющей. Случайные отклонения порождаются множеством неучтенных связей и погрешностями измерений эмпирического значения.
Случайная составляющая эмпирического значения при повторных измерениях изменяется с определенными вероятностями, но является статистически устойчивой в том смысле, что подчиняется некоторому закону распределения. Часто значения случайной составляющей подчиняются нормальному закону с нулевым математическим ожиданием.
Методика наблюдений предусматривает повторные измерения для оценки статистических характеристик случайной составляющей, в частности, закона распределения и среднеквадратичного отклонения (стандарта).
3. Проявление регулярной и случайной составляющих видно на примере эмпирического определении веса младенца (взвешивания):
– регулярная составляющая веса соответствует уровню развития (возрасту) ребенка и состоянию его здоровья;
– случайная составляющая вызывается предшествующим кормлением, мочеиспусканием, может быть, стулом, погрешностями взвешивания и т.п.
4. Эмпирические данные в целом – случайные величины, поскольку включают случайную составляющую. Закон статистического распределения эмпирических данных в целом определяется случайной составляющей и потому чаще всего – нормальный с математическим ожиданием, равным среднему значению регулярной составляющей, и дисперсией, складывающейся из рассеяний регулярной и случайной составляющих.