1.1.4. Зависимая и независимая переменные эмпирической зависимости

Определения зависимой (dependent variable) и независимых (independent variables) переменных условны, так как причинно-следственная связь исследуемых показателей не всегда очевидна, но при этом принято считать, что

– прогнозируемая характеристика (показатель) является случайной зависимой переменной (ее иначе называют предиктором);

– характеристики (показатели), используемые, как предсказывающие (прогнозные), – это независимые переменные (аргументы).

В теории эксперимента независимые переменные принято называть факторами, а зависимую переменную – откликом. В соответствии с этим парная эмпирическая зависимость (рис. 1А) именуется однофакторной, многомерная зависимость (рис. 1Б) – многофакторной.

Независимые переменные в общем случае являются случайными, но их принято считать детерминированными, и вызываемые ими случайные отклонения зависимой переменной относятся на ее счет.

1.2. Основные методы построения стохастической зависимости

Методы построения стохастической зависимости базируются на теории вероятностей и математической статистики.

1.2.1. Корреляционный анализ

Методом изучения взаимосвязи между изменяющимися величинами является корреляционный анализ (correlation analysis).

Корреляционный анализ используется для обнаружения стохастической зависимости и оценки ее силы (значимости) по величине коэффициента корреляции линейной связи или корреляционного отношения нелинейной и многомерной связи. Коэффициент корреляции и корреляционное отношение по абсолютной величине изменяются от 0 (при отсутствии связи) до 1 (при вырождении стохастической связи в функциональную связь). Коэффициент корреляции и корреляционное отношение являются случайными величинами, так как находятся по эмпирическим данным, и стохастическая связь значима (реальна), если абсолютная оценка коэффициента корреляции и корреляционного отношения на 2-3 стандарта превышают нуль.

В основе корреляционной связи может лежать причинная зависимость, например, тормозной путь автомашины, зависит от ее скорости.

Вместе с тем, корреляционная связь обнаруживается также между явлениями, не находящимися в причинно-следственном отношении. Например, для некоторых сельских районов выявлена прямая стохастическая связь между числом гнездящихся аистов и рождающихся детей. Весенний подсчет аистов позволяет предсказывать, сколько в этом году родится детей. Но зависимость, конечно, не доказывает известное поверье о том, что аисты приносят детей, и объясняется параллельными процессами:

– рождению детей обычно предшествует образование и обустройство новых семей с обзаведением сельскими домами и подворьями;

– расширение возможностей гнездования привлекает птиц и увеличивает их число.

Подобная корреляция между признаками, если она не отражает причинные отношения, называется ложной (иногда мнимой), хотя может иметь прикладное значение.

Иногда корреляционный анализ понимается шире и включает вопросы регрессии.

1.2.2. Регрессионный анализ

Метод математического моделирования стохастической зависимости условных средних зависимой переменной от одного или нескольких аргументов называется регрессионным анализом (regression analysis).

В результате регрессионного анализа определяются:

– общий вид модели (уравнения регрессии), как зависимости условных средних арифметических зависимой переменной от значений одной или нескольких независимых переменных (аргументов);

– параметры уравнения регрессии и их значимость.

В парной связи условное среднее арифметическое зависимой переменной – это среднее арифметическое значений зависимой переменной y_i при условии, что аргумент принял значение x_i, и регрессия – это зависимость таких условных средних

(3)

от значений x_i. Иначе уравнение регрессии можно записать, как

(x_i) = (x_i), (4)

где (x_i) – функция, отвечающая зависимости условных средних арифметических зависимой переменной от значений одной или нескольких независимых переменных (аргументов).

Одно из основных свойств среднего арифметического случайных величин состоит в том, что сумма квадратов отклонений этих величин от среднего минимальна. В частности, для каждого среднего можно показать, что

(5)

Следовательно, уравнение регрессии (4), как зависимость условных средних арифметических зависимой переменной от значений x_i, может строиться, исходя из условия (5).