8. Производные от элементарных функций. Таблица производных.

2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.

Производные элементарных функций

Функция y = f(x)	Производные элементарных функций простого аргумента	Функция y = f(kx +b)	Производные элементарных функций сложного аргумента
y=xn	y =n xn−1	y=(kx+b)n	y =n k (kx+b)n−1
y = x	y =1	y=(kx+b)	y =k
y= x	y =12 x	y= kx+b	y =k 12 kx+b
y=1x	y =−1x2	y=1kx+b	y =−k 1(kx+b)2
y = cos x	y =−sinx	y = cos (kx +b)	y =−ksin(kx+b)
y = sin x	y =cosx	y = sin (kx +b)	y =kcos(kx+b)
y = tg x	y =1cos2x	y = tg (kx +b)	y =k 1cos2(kx+b)
y = ctg x	y =−1sin2x	y = ctg (kx +b)	y =−k 1sin2(kx+b)
y = arcsin x	y =1 1−x2	y = arcsin (kx +b)	y =k 1 1−(kx+b)2
y = arccos x	y =−1 1−x2	y = arccos (kx +b)	y =−k 1 1−(kx+b)2
y = arctg x	y =11+x2	y = arctg (kx +b)	y =k 11+(kx+b)2
y = arcctg x	y =−11+x2	y = arcctg (kx +b)	y =−k 11+(kx+b)2
y=ax a 0 a =1	y =ax lna a 0 a =1	y=akx+b a 0 a =1	y =k akx+b lna a 0 a =1
y=ex	y =ex	y=ekx+b	y =k ekx+b
y=logax a 0 a =1	y =1x lna	y=loga(kx+b) a 0 a =1	y =k 1(kx+b) lna
y = lnx	y =1x x 0	y = ln(kx +b)	y =k 1kx+b kx+b 0

9. Дифференциал функций и его применение для приближённых вычислений..

Дифференциалом функции в точке называют линейную функцию , df(x₀)(h) = f'(x₀)h, такую, что выполняется условие

f(x₀ + h) − f(x₀) = df(x₀)(h) + o(h²).

Если дифференциал функции f в точке x₀ существует, то f называется дифференцируемой в точке x₀, а число f'(x₀) называется производной функции f в точке x₀. Часто дифференциал обозначают как или, если он подразумевается определенным на всем , просто df.

Заметим, что дифференциал тождественной функции имеет вид dx(h) = h, поэтому формулу дифференциала произвольной функции f можно записывать также как

Аналогично, дифференциалом функции в точке называют линейный оператор такой, что выполняется условие

Если дифференциал функции f существует в точке x₀, то говорят, что функция f дифференцируема в точке x₀. Матрица этого линейного оператора называется матрицой Якоби, ее элементы будут частными производными f. Отметим, что даже если f не дифференцируема в точке x₀, некоторые (или даже все!) ее частные производные могут в этой точке существовать; дифференцируемость эквивалентна существованию всех частных производных только в случае n = 1.

В случае m = 1 можно рассмотреть функции , , где t стоит на i-м месте. Тогда дифференциал произвольной функции , аналогично со случаем одной переменной, можно записать как

В случае m > 1 дифференциал часто называют (полной) производной функции, в этом случае его иногда обозначают как .

ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ

Пусть нам известно значение функции y₀=f(x₀) и ее производной y₀' = f '(x₀) в точке x₀. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.

Как мы уже выяснили приращение функции Δyможно представить в виде суммы Δy=dy+α·Δx, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δy≈dyили Δy»f'(x₀)·Δx.

Т.к., по определению, Δy = f(x) – f(x₀), то f(x) – f(x₀)≈f'(x₀)·Δx.

Откуда

f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)·Δx