3. Отображения между множествами. Функции и их опредиления.

Отображения множеств. В М. т. аналитическое понятие функции, геометрическое понятие отображения или преобразования фигуры и т. п. объединяются в общее понятие отображения одного множества в другое. Пусть даны два множества Х и Y, пусть каждому элементу х Î Х поставлен в соответствие некоторый определённый элемент у = f(x) множества Y; тогда говорят, что имеется отображение множества Х в множество Y, или что имеется функция, аргумент х которой пробегает множество X, а значения у принадлежат множеству Y; при этом для каждого данного х Î Х элемент у = f(x) множества Y называется образом элемента х Î Х при данном отображении или значением данной функции для данного значения её аргумента х.

Примеры. 1) Пусть задан в плоскости с данной на ней прямоугольной системой координат квадрат с вершинами (0; 0), (0; 1), (1; 0), (1; 1) и осуществлена проекция этого квадрата, например на ось абсцисс; эта проекция есть отображение множества Х всех точек квадрата на множество Y всех точек его основания; точке с координатами (х; у) соответствует точка (х; 0).

2) Пусть Х — множество всех действительных чисел; если для каждого действительного числа x Î X положить у = f(x) = x3, то тем самым будет установлено отображение множества Х в себя.

3) Пусть Х — множество всех действительных чисел; если для каждого х Î Х положить у = f(x) = arctg х, то этим будет установлено отображение множества Х на интервал ( — p/2, p/2).

(1—1)-соответствие между двумя множествами Х и Y есть такое отображение множества Х в множество Y, при котором каждый элемент множества Y является образом одного и только одного элемента множества X. Отображения примеров 2) и 3) взаимно однозначны, примера 1) — нет.

Функция — математическое понятие, отражающее связь между элементами множеств. Более точно, это «закон», по которому каждому элементу одного множества (называемому областью определения) ставится в соответствие некоторый элемент другого множества (называемого областью значений).

Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так значение переменной x однозначно определяет значение выражения x², а значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца, также любому человеку можно сопоставить другого человека — его отца. Аналогично, некоторый задуманный заранее алгоритм по варьируемым входным данным выдаёт определённые выходные данные.

Обычно рассматриваются числовые функции, которые ставят одни числа в соответствие другим. Такие функции обладают рядом отличительных свойств и удобно представляются на рисунках в виде графиков.

Интуитивное определение

Функция f (отображение, операция, оператор) — это закон или правило, согласно которому каждому элементу x из множества X ставится в соответствие единственный элемент y из множества Y

При этом говорят, что функция f задана на множестве X, или что f отображает X в Y.

Если элементу сопоставлен элемент , то говорят, что элемент y находится в функциональной зависимости f от элемента x. При этом переменная x называется аргументом функции f или независимой переменной, множество X называется областью задания или областью определения функции, а элемент y, соответствующий конкретному элементу x — частным значением функции f в точке x. Множество Y всех возможных частных значений функции f называется её областью значений или областью изменения.

Теоретико-множественное определение

В теоретической математике функцию f удобно определить как бинарное отношение (то есть множество упорядоченных пар ), которое удовлетворяет следующему условию: для любого существует единственный элемент такой, что .

Это и позволяет говорить о том, что элементу сопоставлен один и только один элемент такой, что .

Таким образом, функция — это упорядоченная тройка (или кортеж) объектов (f,X,Y), где

множество X называется о́бластью определе́ния;

множество Y называется о́бластью значе́ний;

множество упорядоченных пар или, что то же самое, график функции.

Определение функции легко обобщить на случай функции многих аргументов.

Если множество X представляет собой декартово произведение множеств , тогда отображение оказывается n-местным отображением, при этом элементы упорядоченного набора называются аргументами (данной n-местной функции), каждый из которых пробегает своё множество:

где .

В этом случае y = f(x) означает, что .