22. Основные операции производимые над векторами.

Суммой векторов a и b называется такой третий вектор c, что при совмещенных началах этих трех векторов, векторы a и b служат сторонами параллелограмма, а вектор c -- его диагональю (рис. 10.2).

Сложение векторов называется сложением по правилу параллелограмма.

Вектор b называется противоположным вектору a, если a и b коллинеарные, имеют противоположные направления и .

Вектор, противоположный вектору a, обозначается , то есть .

Разностью векторов a и b называется сумма . Разность обозначается , то есть .

Произведением вектора a на вещественное число называется вектор b, определяемый условием

1) и, если , то еще двумя условиями:

2) вектор b коллинеарен вектору a;

3) векторы b и a направлены одинаково, если , и противоположно, если .

Произведение вектора a на число обозначается (рис 1.4).

Рис.10.4.Умножение вектора на число

Когда речь идет о связи векторов с числами, то иногда числа называют скалярами. Таким образом, определение 10.9 задает умножение вектора на скаляр.

Рассмотрим некоторые свойства операций сложения и умножения вектора на число. Часть из них, которые будут особенно важны при обобщении понятия вектора, выделим в отдельную теорему.

Для любых векторов и любых вещественных чисел выполняются следующие свойства: 1) (свойство коммутативности операции сложения); 2) (свойство ассоциативности операции сложения); 3) ; 4) ; 5) (свойство ассоциативности по отношению к числам); 6) (свойство дистрибутивности по отношению к умножению на число); 7) (свойство дистрибутивности по отношению к умножению на вектор; 8) .

Случаи, когда или a и b коллинеарны, предоставляем проанализировать читателю самостоятельно.

Для доказательства свойства 7 заметим, что векторы и коллинеарны. Без ограничения общности можно считать, что (в противном случае поменяем местами и в доказываемом равенстве).

Пусть и одного знака. Тогда , .

Пусть и имеют разные знаки. Тогда , . Получили, что в обоих случаях.

Векторы f и g имеют одно направление. Оно совпадает с направлением a при и противоположно при . Следовательно, . Свойство 7 доказано.

Свойство 8 очевидным образом вытекает из произведения вектора на число.

Из свойства ассоциативности следует, что в сумме векторов, содержащей три и более слагаемых, можно скобки не ставить. Как найти сумму нескольких слагаемых, не используя попарных сумм, видно из рисунка 10.7.

Сформулируем еще несколько очевидных свойств операций сложения и умножения вектора на число: 9) равенство верно тогда и только тогда, когда или , или ; 10) вектор, противоположный вектору a, равен , то есть ; 11) для любых векторов a и b существует такой вектор x, что .

23. Линейные отображение в лвп. Предоставление линейных преобразований матрицами..

Лине́йное отображе́ние, лине́йный опера́тор — обобщение линейной числовой функции (точнее, функции y = kx) на случай более общего множества аргументов и значений. Линейные операторы, в отличие от нелинейных, достаточно хорошо исследованы, что позволяет успешно применять результаты общей теории, так как их свойства не зависят от природы величин.

Лине́йным отображе́нием векторного пространства L_K над полем K в векторное пространство M_K (лине́йным опера́тором из L_K в M_K) над тем же полем K называется отображение

,

удовлетворяющее условию линейности f(x + y) = f(x) + f(y), f(αx) = αf(x).

для всех и .

Если определить операции сложения и умножения на скаляр из основного поля K как

• 

• 

множество всех линейных отображений из L_K в M_K превращается в векторное пространство, которое обычно обозначается как

• Линейный функционал — линейный оператор, для которого M = K:

• Эндоморфизм — линейный оператор, для которого L = M:

• Тождественный оператор — оператор , отображающий каждый элемент пространства в себя.

• Нулевой оператор — оператор, переводящий каждый элемент L_K в нулевой элемент M_K.

• Проектор - оператор сопоставляющий каждому x его проекцию на подпространство.

• Сопряжённый оператор к оператору — оператор A ^* на V ^* , заданный соотношением (A ^* f,x): = (f,Ax).

• Самосопряжённый оператор — оператор, совпадающий со своим сопряжённым оператором. Иногда такие операторы называют гипермаксимальными эрмитовыми.

• Эрмитов (или симметрический) оператор — такой оператор A, что (Ax,y) = (x,Ay) для всех пар x,y из области определения A. Для всюду определённых операторов совпадает с самосопряжённым.

• Положительно определённый оператор. Пусть L_K,M_K - гильбертовы пространства. Тогда линейный оператор называется положительным, если .

Линейное преобразование переменных x₁, x₂, ..., x_n — замена этих переменных на новые x"₁, x’₂, ..., x"_n, через которые первоначальные переменные выражаются линейно, т. е. по формулам: x₁ = a₁₁x’₁ + a₁₂x’₂ + ... + a_nnx’_n + b₁, x₂ = a₂₁x’₁ + a₂₂x’₂ + ... + a_2nx’_n + b₂, ... x_n = a_n1x’₁ + _an2x’₂ + ... + a_nnx’_n + b_n, здесь a_ij и b_i (i, j = 1,2, ..., n) — произвольные числовые коэффициенты. Если b₁, b₂,..., b_n все равны нулю, то Линейное преобразование переменных называют однородным. Простейшим примером Линейное преобразование переменных могут служить формулы преобразования прямоугольных координат на плоскости х = x" cos a - y" sin a + a, у = x" sin a + y" cos a + b. Если определитель D = ½a_ij ½, составленный из коэффициентов при переменных, не равен нулю, то можно и новые переменные x"₁, x"₂, ..., x"_n линейно выразить через старые. Например, для формул преобразования прямоугольных координат x’ =x cos a + ysin a + a₁ y’ = -x sin a + cos a + b₁ где a₁ = - a cos a - b sin a, b₂ = a sin a - b cos (. Другими примерами Линейное преобразование переменных могут служить преобразования аффинных и однородных проективных координат, замена переменных при преобразовании квадратичных форм и т. п. Линейное преобразование векторов (или Линейное преобразование векторного пространства) называют закон, по которому вектору х из n-мерного пространства ставят в соответствие новый вектор x", координаты которого линейно и однородно выражаются через координаты вектора х: x’₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... +a_1nx_n x’₂ = a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... +a_2nx_n

... x’_n = a_n1x₁ + a_n2x₂ + ... +a_nnx_n, или коротко x" = Ax. Например, операция проектирования на одну из координатных плоскостей (пусть на плоскость хОу) будет Линейное преобразование трёхмерного векторного пространства: каждому вектору а с координатами х, у, z сопоставляется новый вектор b, координаты x", y"., z" которого выражаются через х, у, z следующим образом : x" = х, y" = у, z" = 0. Пример Линейное преобразование плоскости — поворот её на угол a вокруг начала координат. Матрицу , составленную из коэффициентов Линейное преобразование А, называют его матрицей. Матрицами приведённых выше Линейное преобразование проектирования и поворота будут соответственно и . Линейное преобразование векторного пространства можно определить (как обычно поступают) без использования системы координат: соответствие х®у = Ax называют Линейное преобразование, если выполняются условия А(х + у) = Ax + Ау и A(ax) = aА(х) для любых векторов х и у и любого числа a. В разных системах координат одному и тому же Линейное преобразование будут соответствовать разные матрицы и, следовательно, разные формулы для преобразования координат. К Линейное преобразование относится, в частности, нулевое Линейное преобразование О, переводящее все векторы в 0 (нулевой вектор) : Ox = 0 и единичное Линейное преобразование Е, оставляющее все векторы без изменения: Ex = х; этим Л. и. в любой системе координат соответствуют нулевая и единичная матрицы. Для Линейное преобразование векторного пространства естественным образом определяются операции сложения и умножения: суммой двух Линейное преобразование А и В называют Линейное преобразование С, переводящее любой вектор х в вектор Cx = Ax + Вх; произведением Линейное преобразование А и В называют результат их последовательного применения: С = AB, если Cx = А(Вх). В силу этих определений совокупность всех Линейное преобразование векторного пространства образует кольцо. Матрица суммы (произведения) Линейное преобразование равна сумме (произведению) матриц Линейное преобразование слагаемых (сомножителей); при этом существен порядок множителей, так как произведение Л. и., как и матриц, не обладает свойством коммутативности. Линейное преобразование можно также умножать на числа: если Линейное преобразование А переводит вектор х в вектор у = Ax, то aА переводит х в aу. Примеры операций над Линейное преобразование: 1) Пусть А и В означают операции проектирования па оси Ox и Оу в трёхмерном пространстве; А + В будет проектированием на плоскость хОу, а AB = 0. 2) А и В — повороты плоскости вокруг начала координат на углы j и ; AB будет поворотом на угол j + . 3) Произведение единичного Линейное преобразование Е на число a будет преобразованием подобия с коэффициентом растяжения (или сжатия) a. Линейное преобразование В называют обратным к Линейное преобразование А (и обозначают А^-1), если BA = Е (или AB = Е). Если Линейное преобразование А переводило вектор х в вектор у, то Линейное преобразование А^-1 переводит у обратно в х. Линейное преобразование, обладающее обратным, называют невырожденным; такие Линейное преобразование характеризуются также тем, что определитель их матрицы не равен нулю. Некоторые классы Линейное преобразование заслуживают особого упоминания. Обобщением поворотов двумерных и трёхмерных евклидовых пространств являются ортогональные (или унитарные — в комплексных пространствах) Линейное преобразование Ортогональные Линейное преобразование не изменяют длин векторов (а следовательно, и углов между ними). Матрицы этих Линейное преобразование в ортонормированной системе координат также называются ортогональными (унитарными): произведение ортогональной матрицы на её транспонированную даёт единичную матрицу: å_ka_ika_jk = å_ka_kia_kj = 0 при i ¹ j, å_ka²_ik = å_ka²_ki = 1 (в комплексном пространстве å_ka_{ik jk} = å_ka_{ki kj} = 0, å_k|a_jk|² = å_k|a_ki|² = 1). Симметрическим (эрмитовым, или самосопряжённым, — в комплексном пространстве) Линейное преобразование называют такое Линейное преобразование, матрица которого симметрическая: a_ij = a_ji (или (a_ij = _ij). Симметрические Линейное преобразование осуществляют растяжение пространства с разными коэффициентами по неск. взаимно ортогональным направлениям. С симметрическими Линейное преобразование связана теория квадратичных форм (или эрмитовых форм в комплексном пространстве). Приведённое выше определение Линейное преобразование в векторном пространстве, не использующее координатную систему, без всяких изменений распространяется и на бесконечномерные (в частности, функциональные) пространства. Линейное преобразование в бесконечномерных пространствах принято называть линейными операторами.