5. Дифференциальные зависимости при изгибе.

Рассмотрим балку с произвольной нагрузкой (рис. 30). Распределенную нагрузку будем считать положительной, если она направлена вверх (т.к. в этом случае она сжимает верхние волокна и дает положительное слагаемое в выражении для изгибающего момента.

Выделим на участке, где нет сосредоточенных сил и моментов, элемент балки длиной . Он находится в равновесии под действием внешней нагрузки , поперечных сил и изгибающих моментов в сечениях и . В сечении имеем и , а в сечении - и (рис. 31).

Запишем условия равновесия выделенного элемента:

,

Рис. 31.

.

(1)

,

Пренебрегая членом как бесконечно малым, получим:

(2)

Из формул (1) и (2) следует, что

(3)

Формулы (1) - (3) называются дифференциальными зависимостями при изгибе.

Некоторые особенности эпюр Q и М.

1. На участке балки, свободной от равномерно распределенной нагрузки , эпюра - прямая, параллельная оси балки, эпюра - наклонная прямая.

2. На участке, где действует распределенная нагрузка , эпюра - наклонная прямая, эпюра - парабола, выпуклость которой направлена в сторону, противоположную интенсивности распределенной нагрузки (зонтиком).

3. В сечении, где эпюра пересекает ось балки, на эпюре - экстремум.

4. В сечении, где приложена сосредоточенная сила , на эпюре - скачок, равный по величине , на эпюре - перелом.

5. В сечении, где приложен сосредоточенный момент , на эпюре - никаких изменений, на эпюре - скачок, равный по величине .

6. На участках, где , эпюра - возрастает, где , эпюра - убывает.

7. Эпюра представляет собой производную от эпюры , следовательно, эпюру можно проверить по площади эпюры .

Растяжение и сжатие

1. Напряжения в поперечных сечениях

Растяжение и сжатие стержня вызывается силами, действующими вдоль его оси. В поперечных сечениях возникает один внутренний силовой фактор - продольная сила .

Рассечем стержень произвольным поперечным сечением 1-1 (рис. 32). Рассмотрим напряжения, возникающие в поперечном сечении растянутого стержня. Продольная сила является равнодействующей внутренних сил в сечении. Интегральная зависимость между нормальными напряжениями и продольной силой :

.

Для построения теории напряженного состояния стержня при растяжении пользуются следующей системой гипотез:

1. При растяжении или сжатии стержня осевыми силами поперечные сечения, достаточно ударенные от точек приложения внешних сил, остаются при деформации плоскими и перемещаются поступательно в направлении деформации (гипотеза плоских сечений).

2. Продольные волокна при деформации не давят друг на друга (не взаимодействуют).

На основании этих гипотез можно сделать вывод, что все точки какого-либо сечения находятся в равных условиях, и, следовательно, внутренние силы распределены по сечению равномерно. Тогда нормальное напряжение для всех точек будет одним и тем же:

.

Растягивающее напряжение считается положительным, а сжимающее отрицательным.

Касательные напряжения в поперечных сечениях равны нулю.