Геометрические характеристики плоских сечений

При расчете конструкций на некоторые виды деформаций кроме площади поперечного сечения необходимо знать дополнительные геометрические характеристики: статические моменты площади относительно осей, - , ; осевые моменты инерции , ; центробежный момент инерции и полярный момент инерции .

1. Статические моменты площади. Центр тяжести.

Рассмотрим произвольную фигуру (поперечное сечение детали) в координатных осях , (рис. 7). Выделим элемент площади с координатами , .

Площадь фигуры может быть определена

.

Выражения

;

называются статическими моментами площади фигуры относительно осей , .

Статические моменты измеряются в единицах длины в кубе (например, ).

Если известны координаты центра тяжести сечения , , то статические моменты определяются: , . Отсюда координаты центра тяжести сечения: ;

.

Оси, проходящие через центр тяжести сечения называются центральными осями. Статические моменты относительно центральных осей равны нулю.

Для определения статических моментов сложной фигуры ее разбивают на простые части, для каждой из которых известна площадь и положение центра тяжести и (рис. 8). Статический момент площади всей фигуры относительно данной оси определяется как сумма статических моментов каждой части:

; .

Отсюда координаты центра тяжести сложной фигуры:

; .

Пример1:

Определить координаты центра тяжести фигуры (рис. 9).

Разбиваем фигуру на два прямоугольника.

ед.;

ед.

2. Моменты инерции плоских фигур.

Осевыми моментами инерции площади фигуры называют выражения

; .

Полярным моментом инерции площади фигуры относительно полюса называют

.

Если через полюс проведена система взаимно перпендикулярных осей и (рис. 10), то (как гипотенуза ).

Тогда

,

то есть полярный момент инерции относительно полюса равен сумме осевых моментов инерции относительно осей, проходящих через полюс.

Отметим, что величины осевых и полярных моментов инерции положительны.

Центробежным моментом инерции называют . Единицы измерения осевых, полярных и центробежных моментов инерции - .

Центробежный момент инерции может быть положительным, отрицательным и равным нулю.

Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называют главными осями. Две взаимно перпендикулярные оси, одна из которых является осью симметрии фигуры, называются главными осями. Главные оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются главными центральными осями.

Вычислим моменты инерции прямоугольника относительно центральных осей, параллельных его сторонам (рис. 11).

Выделим элементарную площадку в виде узкого прямоугольника, параллельного оси . Площадь элемента .

Аналогично, если выделить элементарную вертикальную полоску шириной , получим: и

.

Вычислим полярный момент инерции круга относительно его центра, а также момент инерции относительно центральной оси.

При вычислении полярного момента инерции выделим элементарную полоску в виде тонкого кольца толщиной (рис. 12). Площадь такого элемента равна

Ввиду малости слагаемым пренебрегаем.

Полярный момент инерции

.

В силу симметрии фигуры . Используя свойство осевых и полярных моментов инерции , получим: . Отсюда

.