Приравниваем

;

По аналогии можно вывести формулу интеграла Мора для всех случаев нагружения.

5. Частные случаи записи интеграла Мора

При расчете разных упругих систем учитывают соответствующие силовые факторы, поэтому используют разные формы записи интегралов Мора.

1. Для шарнирных стержневых систем:

2. Для плоских балок, рам и кривых брусьев

3. Для пространственных систем

6. Порядок определения перемещений по интегралу Мора

Для определения перемещений надо рассмотреть заданную и единичную системы. При определении линейного перемещения по направлению искомого перемещения прикладывается единичная сила, а при определении угла поворота сечения – единичный момент.

В

Рис. 106.

ычерчиваем заданную и вспомогательную системы (рис. 106), разбиваем их на участки. Границы участков в обеих системах должны совпадать. Для двух систем по участкам записываем выражения силовых факторов и составляем интегралы Мора, вычислив которые, получим величину искомого перемещения.

Участок : Участок :

;

7. Правило Верещагина для вычисления интеграла Мора ("перемножение" эпюр)

Интеграл Мора содержит силовые факторы от заданной нагрузки и единичных сил. Метод Верещагина основан на том, что эпюра от единичной силы и момента всегда прямолинейна, никогда не бывает параболы. Жесткость по участкам должна быть постоянной, чтобы ее можно было вынести за знак интеграла.

Вывод проводим на примере эпюр изгибающих моментов (рис. 107), но результат справедлив для любых эпюр, из которых одна линейная.

Постановка задачи: на участке балки с постоянной жесткостью заданы эпюры и . Эпюра имеет произвольное очертание, эпюра - прямая линия без изломов.

Требуется вычислить интеграл

Вычисления:

Получено выражение, позволяющее вычислять интеграл Мора геометрически. Этот способ вычисления называется методом Верещагина.

Правило: Чтобы вычислить интеграл Мора по способу Верещагина нужно построить эпюры подинтегральных функций и , а затем площадь эпюры , обозначаемую , умножить на ординату с эпюры расположенную под центром тяжести площади , обозначенную - .

Примечание: Если обе "перемножаемые" эпюры прямолинейные, то, можно, наоборот, площадь брать с эпюры , а ординату с эпюры _.

.

8. Практические приемы перемножения

1 . Всякую эпюру, ограниченную прямой линией без изломов рекомендуется разбивать на треугольники (рис. 108), так как для них всегда легко определить площадь и ординату в центре тяжести.

2. Если эпюра - парабола, то при любом ее расположения надо отделить параболический сегмент. При любом положении параболического сегмента ордината в центре равна , центр тяжести располагается в середине отрезка (рис. 109).

Площадь сегмента:

Примеры:

1. 

2.