3. Главные напряжения. Главные площадки.
Каково бы ни было напряженное состояние в рассматриваемой точке, всегда существуют три взаимно перпендикулярных площадки, на которых касательные напряжения равны нулю, а нормальные напряжения имеют стационарные значения (максимум, минимум, минимакс).
Эти площадки называются главными. Нормальные напряжения, действующие на главных площадках, называются главными напряжениями.
Исходя
из определения, найдем главные напряжения
и положения главных площадок. Предположим,
что главная площадка существует. Пусть
это будет площадка с нормалью
(рис. 82). Главное напряжение обозначим
.
Тогда
Рис. 82.
Подставляя
вместо
из значения получим:
Система уравнений содержит четыре неизвестных величины:
и
.
(6)
Эта система трех однородных линейных уравнений, имеет решение отличное от нуля только тогда, когда определитель, составленный из коэффициентов, равен нулю.
.
Раскрывая
определитель, получим кубическое
уравнение для
.
Следовательно, высказанное вначале утверждение справедливо
Главные
напряжения впредь будем обозначать:
.
4. Инварианты тензора напряжений.
Вокруг
рассматриваемой точки
(рис.1), можно вырезать бесчисленное
множество бесконечно малых элементов
(параллелепипед), грани которых будут
различно ориентированы по отношению
к осям координат. При изменении ориентации
граней параллелепипеда компоненты
тензора напряжений будут меняться. Но
независимо от способа вырезания элемента
вокруг данной точки подстановка значений
компонент напряжения в уравнение (6)
должна дать одни и те же значения главных
напряжений, т. к. последние определяются
характером напряженного состояния.
Коэффициенты уравнения (6) называются
инвариантами напряженного состояния
.
Перепишем уравнения (6) в виде
-
первый, второй, третий инварианты
напряженного состояния или инварианты
тензора напряжений.
(7)
(8)
(9)
В теории напряжений, а так же в теории деформации инварианты являются основными характеристиками напряженного и деформированного состояния в точке. Компоненты тензора напряжений как величины, связанные с осями координат, считаются вспомогательными.
В некоторых случаях инварианты тензора напряжений могут принимать нулевые значения.
1.
.
Один из корней уравнения (6) так же равен
нулю.
Имеет место плоское напряженное состояние (рис. 83).
2
Рис. 83.
.
два корня уравнения (6) равны
.
В этом случае имеет место линейное
напряженное состояние (рис. 84).
3
.
Объемное напряженное состояние (рис.
85).
5.Октаэдрические напряжения.
В исследовании вопроса прочности материала наряду с главными плоскостями и плоскостями главных касательных напряжений, существенное значение имеют плоскости, пересекающие главные оси под одинаковыми углами. Такие плоскости называются октаэдрическими (рис 86).
В
ычислим
нормальное и касательное напряжение
по октаэдрической площадке. Оси координат
направим вдоль главных напряжений.
Направляющие косинусы нормали к
октаэдрической площадке равны между
собой.
Проекции
полного напряжения на оси
будут определяться по формуле (3):
Величина полного напряжения определиться:
Нормальное напряжение на той же площадке определяется согласно формуле (4).
(7)
Воспользовавшись формулой (5), определим касательное напряжение на октаэдрической площадке:
или
(8)
Касательное напряжение, определяемое формулой (9) называется октаэдрическим касательным напряжением или интенсивностью касательных напряжений.
В теории пластичности октаэдрическое касательное напряжение является основным фактором, определяющим характер развития пластической деформации.
(9)
-
интенсивность нормальных напряжений.
(10)