8. Проверка балок на жесткость.

Условие жесткости накладывает ограничение на величину прогиба.

.

– допускаемый прогиб, задается по условию эксплуатации в долях пролета, например

.

Пример: проверить жесткость балки (рис. 78), выполненной из двутавра №18; если условие не выполняется, подобрать новое сечение. ;

; ; ;

Рис. 78.

,

Надо взять двутавр №45 - .

Теория напряженного и деформированного состояния в точке

1. Напряженное состояние в точке. Тензор напряжений.

Под напряжённым состоянием в точке понимают совокупность напряжений во всех площадках, проходящих через заданную точку.

Изучая распределение напряжений и деформаций в упругом теле, будем использовать общепринятую модель сплошного безпустотного упругого тела.

Предположим, что заданы размеры тела, материал, нагрузки, условия закрепления. Поставим задачу: исследовать напряженное состояние в про­извольной точке “” (рис. 79). Тело находится в состоянии равновесия. Выде­лим вокруг точки М элементарный параллелепипед с размерами .

Полные напряжения на гранях являются результатом взаимодействия выделенного параллелепипеда с остальным телом. Раз­ложим их по трем направлениям: по нормали к грани и по касательным направлениям (рис. 80).

Нормальные напряжения обозначим -

касательные -

Так как размеры изучаемого параллеле­пипеда малы, то пренебрегая объемным весом параллелепипеда можно считать, что одноименные параллельные напряжения для каждой пары граней параллелепипеда практически одинаковы, а напряженное состояние однородно.

Таким образом, на каждой паре параллельных граней три неизвестных компоненты напряжений.

Совокупность девяти компонент напряжений образует тензор напряжений.

(1)

Тензор напряжений определяет напряженное состояние в точке.

Выделенный элементарный параллелепипед находится в состоянии равно­весия:

Составим

Аналогично записывая

получим:

(2)

Равенство (2) называется законом парности касательных напряжений:

На двух взаимно-перпендикулярных площадках касательные напря­жения равны по величине и направлены к ребру или от ребра выделенного элемента.

В силу этого закона тензор напряжений является симметричным тензо­ром. Следовательно, напряженное состояние в точке определяется шестью независимыми компонентами напряжения.

2. Определение напряжений на наклонных площадках

Покажем, что задание шести компонентов тензора напряжений определяет полностью напряжённое состояние в точке, т.е. величину вектора напряжений на любой площадке.

Для решения поставленной задачи вырежем в окрестности точки элементарный тетраэдр (рис. 81). Три его грани совпадают с координатными плоскостями системы ,

, . Четвертая грань является наклонной. Направление нормали к наклонной плоскости характеризуется направляющими косинусами:

Действие отброшенных частей заменим силовыми факторами. Полное напряжение, действующее на наклонной грани обозна­чим через , а его проекции на коор­динатные оси

Площади элементарных граней обозначим:

Составим уравнения равновесия тетраэдра

(3)

Полное напряжение можно определить:

Таким образом мы определили вектор напряжений на наклонной площадке, что доказывает справедливость утверждения: шесть компонент напряжения полностью определяют напряженное состояние в точке.

Спроецируем вектор полного напряжения на нормаль и ось , лежащую в плоскости площадки. Для получения проекции, достаточно спроектировать на оси и .

(4)

(5)