3. Моменты инерции сложных сечений.

В расчетной практике часто приходится вычислять моменты инерции сложных сечений. Для прокатных профилей (рис. 13) геометрические характеристики сведены в таблицы, которые называются сортаментом прокатной стали.

Рис. 13.

двутавр

швеллер

Равнобокий уголок

неравнобокий уголок

Пусть требуется определить моменты инерции сложной фигуры относительно осей , (рис. 14). При вычислении моментов инерции сложных сечений их нужно разбить на простые части, моменты инерции которых известны.

Из основного свойства интеграла суммы следует, что момент инерции сложной фигуры равен сумме моментов инерции составных ее частей.

;

.

Если в сечении имеется отверстие (рис. 15), то его удобно считать фигурой с отрицательной площадью.

;

.

4. Моменты инерции относительно параллельных осей.

Пусть известны моменты инерции фигуры относительно осей , :

; ;

.

Требуется определить моменты инерции относительно осей , параллельных центральным

; ; .

Координаты любой точки в новой системе :

; .

Подставим эти значения в формулы для моментов инерции и проинтегрируем почленно:

;

;

.

Интегралы и как статические моменты относительно центральных осей и формулы преобразования моментов инерции относительно параллельных осей принимают вид:

; ; .

Момент инерции фигуры относительно любой оси равен моменту инерции относительно центральной оси, параллельной данной, плюс произведение площади фигуры на квадрат расстояния между этими осями.

Центробежный момент инерции относительно любой системы прямоугольных осей равен центробежному моменту относительно системы центральных осей, параллельных данным, плюс произведение площади фигуры на координаты ее центра тяжести в новых осях.

5. Зависимости моментов инерции при повороте

координатных осей.

Пусть известны моменты инерции произвольной фигуры (рис. 17) относительно осей , :

; ;

.

Повернем оси , на угол против часовой стрелки, считая угол поворота осей в этом направлении положительным.

Найдем моменты инерции сечения относительно повернутых осей , :

; ; .

Координаты произвольной элементарной площадки в новых осях:

;

.

Подставим эти выражения в формулы для моментов инерции и проинтегрируем почленно:

;

;

.

Итак,

; ; .

Формулы, полученные при повороте любой системы прямоугольных осей, справедливы и для центральных осей.

Складывая почленно, получим:

.

При повороте прямоугольных осей сумма моментов инерции не меняется и равна полярному моменту инерции относительно начала координат.