3. Потенциальная энергия деформации упругой системы.

Ее выражение через внутренние силовые факторы.

З адана произвольная упругая система, загруженная произвольными нагрузками (рис. 101). Требуется вычислить потенциальную энергию деформации.

Вырежем из системы элемент длиной . В общем случае нагружения в сечениях будет действовать по шесть силовых факторов.

- продольная сила, соответствующая растяжению-сжатию

- поперечные силы, соответствующие изгибу

- крутящий момент

- изгибающие моменты

Потенциальную энергию, накопленную в элементе при деформации, можно вычислить как работу силовых факторов, действующих в сечениях. Работа их будет действительной, т. к. по мере нагружения системы внешними нагрузками силовые факторы в сечении и перемещения постепенно увеличивается. Работы внутренних силовых факторов независимы, так как каждый работает только на своем перемещении. Можно вычислять работу от каждого силового фактора отдельно.

1. От продольной силы (рис. 102):

где - закон Гука

2. От изгибающего момента (рис. 103):

В общем случае нагружения будет два изгибающих момента во взаимно перпендикулярных плоскостях и _. Соответственно будет состоять из двух слагаемых

3. От крутящего момента (рис. 104):

4. По аналогии можно записать выражение от поперечных сил, хотя в расчетах они обычно не учитываются

где и - коэффициенты, учитывающие форму сечения.

Чтобы вычислить потенциальную энергию деформации всей системы нужно полученные выражения элементарной энергии от каждого силового фактора проинтегрировать по участкам и затем эти интегралы сложить

В практических расчетах обычно все интегралы не приходится вычислять, так как величины энергии, соответствующие разным силовым факторам могут отличаться на один- два порядка.

При плоском изгибе в балках и рамах учитывают только один изгибающий момент или ;

при расчете шарнирных стержневых систем - только продольную силу ;

в пространственных системах учитывают изгибающие моменты в двух главных плоскостях и крутящий момент , и .

4. Интеграл Мора для вычисления перемещений

произвольно нагруженных брусьев

Вывод формулы проводится для случая плоского изгиба, соответственно учитывается только изгибающий момент . В общем случае нагружения рассуждения аналогичны.

Постановка задачи:

Задана произвольная упругая система, загруженная силами . Требуется определить перемещение произвольной точки в заданном направле-

нии .

Для вывода формулы кроме заданной рассмотрим вспомогательную единичную систему, которая представляет собой заданную упругую систему (рис. 105), к которой по направлению искомого перемещения приложена единичная сила .

Введем обозначения:

в заданной системе -

изгибающий момент -

работа внешних сил -

энергия деформации -

-

в единичной системе -

изгибающий момент -

работа силы -

энергия деформации -

-

По первому свойству упругих систем справедливы равенства:

Вывод формулы:

Загрузим систему последовательно сначала единичной силой , а затем, не снимая ее, заданными силами . Из равенства энергии и работы после двух нагружений можно найти перемещение .

Работа после первого нагружения ,

после второго нагружения ,

суммарная ,

Изгибающий момент после двух нагружений

Вычисляем