59. Способи визначення автокореляції залишків. Критерій Дарбіна – Уотсона

Для визначення автокореляції залишків використовують критерій Дарбіна – Уотсона, величину критерію визначають за допомогою формули:

Значення DW змінюється від 0 до 4 включно. Якщо DW»2, то автокореляція відсутня.

Отримане значення критерію порівнюють з табличним, які мають нижню і верхні межі: та відповідно.

автокореляція

Критичні (табличні) значення критерію шукають в залежності від числа спостережень n і кількості незалежних змінних m при обраному рівні значимості.

Якщо значення критерію попадає в зону невизначеності, то висновок про наявність чи відсутність автокореляції зробити неможливо, в такому випадку потрібно продовжити ряд спостереження.

60.Крім критерію Дарбіна – Уотсона використовують також критерій фон Неймана:

Звідси . При . Фактичне значення критерію фон Неймана порівнюється з табличним для вибраного рівня значущості і зада­ного числа спостережень. Якщо , то існує додатна автокореляція.

61. Нециклічний коефіцієнт автокореляції

Цей коефіцієнт виражає ступінь взаємозв’язку залишків кожного наступного значення з попереднім, а саме:

I ряд — ;

II ряд — .

Він обчислюється за формулою:

Коефіцієнт може набувати значень в інтервалі (–1;+1). Від’ємні значення його свідчать про від’ємну автокореляцію, додатні — про додатну. Значення, що містяться в деякій критичній області біля нуля, свідчать про відсутність автокореляції, тобто стверджують нульову гіпотезу про відсут­ність автокореляції залишків. Оскільки ймовірнісний розподіл встановити трудно, то на практиці замість обчислюють циклічний коефіцієнт автокореляції .

Циклічний коефіцієнт автокореляції

Він виражає ступінь взаємозв’язку рядів:

I ряд — , ;

II ряд — , .

Циклічний коефіцієнт обчислюється за формулою:

Для досить довгих рядів вплив циклічних членів на величину коефіцієнта незначний, тому можна вважати, що ймовірнісний розподіл наближається до розподілу . Якщо останній член ряду дорівнює першому, тобто u₁ = u_n, то нециклічний коефіцієнт автокореляції дорівнює циклічному. Очевидно, що коли залишки не містять тренду, то припущення про рівність u₁ = u_n недалеке від реальності і циклічний коефіцієнт автокореляції наближається до нециклічного.

Фактично обчислене значення циклічного коефіцієнта автокореляції порівнюється з табличним для вибраного рівня значущості і довжини ряду n. Якщо , то існує автокореляція. Припускаючи, що , циклічний коефіцієнт автокореляції можна записати у вигляді

На практиці часто замість (8.16) обчислюють

62. Метод Ейткена

Нехай в економетричній моделі

y_t = a₀ + a₁x_t + u_t ,

u_t =  u_t + e_t ,

де e_t — нормально розподілені випадкові залишки. Тоді, щоб усунути автокореляцію залишків u_t, треба перетворити основну модель так, щоб вона мала залишки e_t. Оскільки e_t = u_t – ru_t – 1, то для такого перетворення треба записати модель для попереднього періоду

y_t – 1 = a₀ + a₁x_t – 1 + u_t – 1,

помножити ліву і праву частину її на та відняти від моделі для періоду t.

У результаті дістанемо таку економетричну модель:

y_t – y_t–1 = a₀(1 – ) + a₁(x_t – x_t–1) + (u_t – u_t–1)

Звідси очевидно, що коли вихідні дані перетворені, а саме y_t – y_t–1, x_t – – x_t–1, то для оцінювання параметрів можна застосувати 1МНК. Причому для перетворення можна використати перші різниці y_t – y_t–1 і x_t – x_t–1, коли наближається до одиниці. Якщо близьке до нуля, то справджується обернене твердження. Зауважимо, що коли  = 1, у перетвореній моделі відсутній вільний член (як виняток може бути ситуація, коли вихідна модель містить лінійний часовий тренд). Якщо залишки вихідної моделі характеризувались додатною автокореляцією, використання перших різниць спричинюється до від’ємної автокореляції.

Параметр r наближено можна знайти на основі залишків, якщо обчислити циклічний коефіцієнт кореляції r. На практиці, як правило, r » r, але r коригується на величину зміщення.

Усі ці міркування покладені в основу методів оцінки параметрів економетричної моделі з автокорельованими залишками.

Для оцінювання параметрів економетричної моделі, що має автокореляцію залишків, можна застосувати узагальнений метод найменших квадратів (метод Ейткена), який базується на скоригованій вихідній інформації з урахуванням коваріації залишків.

Коли має місце автокореляція залишків, то визначення параметрів моделі можливо за методом Ейткена.

Алгоритм розрахунку:

1. Визначаємо матрицю S :

де

де u_t — величина залишків у період t;

u_t–1 — величина залишків у період t – 1;

n — число спостережень.

2. Обчислюємо обернену матрицю .

3. Перемножуємо матрицю Х` на , де Х` - матриця, транспонована до матриці незалежних змінних X.

4. Знаходимо добуток .

5. Обчислюємо обернену матрицю та матрицю .

6. Знаходимо матрицю , елементи якої і будуть коефіцієнтами лінійного рівняння