38) Порівняння 2-х регресій. Тест Чоу.

Нерідко на практиці ми стикаємося всього лише з двома групами даних (s = 2). Наприклад, важливо визначити значущість структурних зрушень між двома періодами часу, або ж значущість відмінностей у виробничих функціях для двох галузей, або ж значущість відмінностей між споживчими функціями у двох країнах.

Доти, доки кількість спостережень у кожній групі перевищує кількість оцінюваних параметрів, запропонований підхід можна застосувати безпосередньо. Якщо ж в одній із груп кількість спостережень менше кількості параметрів, то цей випадок потребує особливого дослідження, яке виконав Г. Чоу (незалежно від нього — Ф. Фішер).

Нехай маємо сукупність спостережень, яка містить дві групи даних, що різняться між собою певними якісними ознаками. Постають такі запитання:

Чи можемо ми об’єднати ці групи для побудови економетричної моделі за всією сукупністю спостережень?

Як відрізняються вільні члени моделей, побудованих окремо за двома групами даних?

Чи однакові оцінки параметрів моделі, що характеризують вплив пояснювальної змінної на залежну?

Якщо йдеться лише про відмінності вільних членів, то групи спостережень можна об’єднати в одну сукупність і скоригувати вільний член введенням до моделі фіктивних змінних.

Розглянемо підхід, який запропонував для дослідження цієї проблеми Г. Чoy .

Цей підхід передбачає три етапи.

1. За основною вибірковою сукупністю спостережень n1 будуємо 1МНК оцінки параметрів моделі і знаходимо вектор залишків , а далі — суму квадратів цих залишків

,

де — вектор залежної змінної розміру n1 Ч 1;

— матриця пояснювальних змінних розміру , де r — кількість пояснювальних змінних моделі.

2. За об’єднаною (загальною) вибірковою сукупністю спостережень будуємо 1МНК-оцінки параметрів моделі і знаходимо вектор залишків моделі , а потім — суму квадратів цих залишків:

,

де Y — вектор залежної змінної розміру n ´ 1;

X — матриця пояснювальних змінних розміру n ´ (r + 1).

3. Обчислюємо -критерій за формулою:

.

Якщо справедлива нульова гіпотеза Н0, критерій повинен бути випадковою величиною, яка розподілена за законом Фішера зі ступенями свободи n2 і (n1 – r – 1). Тому якщо (n2, n1 – – r – 1) і розмір груп спостережень у кожній вибірці такий, що не дає змоги побудувати окремі 1МНК-оцінки за кожною з вибірок, то можна дістати ще вектор залишків і відповідно знайти суму квадратів цих залишків:

,

де — вектор залежної змінної за другою групою n2 розміру n2 ´ 1;

X(2) — матриця пояснювальних змінних розміру .

Тоді для визначення регресійної однорідності доцільно використовувати критерій , який обчислюється так:

.

Цей критерій за припущенням про правильність нульової гіпотези також має бути випадковою величиною і мати F-розподіл. Порівнявши його з табличним значенням F-критерію за вибраного рівня значущості та ступенів свободи і , можна прийняти чи відхилити нульову гіпотезу. Якщо g1 > Fa крит, то нульову гіпотезу про регресійну однорідність треба відхилити, у протилежному випадку її потрібно прийняти.