Движение свободной частицы

Свободная частица

Частица, движущаяся в отсутствие внешних полей.

Поскольку внешние силы не действуют, U(x) = const (частица движется вдоль оси х) и ее можно приравнять нулю.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний

Частное решение уравнения

Ψ- координатная часть волновой функции Ψ(X,t)

Зависящая от времени волновая функция

(здесь со ).

Эта функция представляет собой плоскую монохроматическую волну де Бройля.

Плотность вероятности обнаружения частицы в данной точке пространства

не зависит от времени, т. е. все положения свободной частицы в пространстве равновероятны.

Энергетический спектр свободной частицы

Из формулы для Е следует, что зависимость энергии от импульса

— обычная для нерелятивистских частиц. Энергия свободной частицы может принимать любые значения (ведь волновое число к может принимать любые положительные значения), т. е. энергетический спектр свободной частицы непрерывный.

Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» с бесконечно высокими «стенками»

l— ширина ямы, энергия отсчитывается от ее дна.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний в пределах ямы (0≤ х≤ l)

Собственные функции

Нормированные собственные функции

Н а рисунке изображены гра­фики собственных функций Ψ_n(х), а также плотность вероятности обнаружения частицы на разных расстоя­ниях от «стенок» ямы, опре­деляемая выражением

Собственные значения энергии

Энергетический спектр в этом случае является дискретным, т.е. энергия квантуется. Квантованные значения энергии называются уровнями энергии, а число n, которое определяет энергетические уровни называется главным квантовым числом.

Потенциальный барьер прямоугольной формы

Уравнения Шредингера для стационарных состояний

Прохождение частицы сквозь потенциальный барьер.

Туннельный эффект

Если энергия частицы меньше высоты потенциального барьера, то

В области 2 функция (1) не соответствует плоским вол­нам (показатели экспонент действительные). Можно показать, что для высокого и широкого барьера (βl>> 1)

B₂ = 0.

Вид функций ψ₁, ψ₂ и ψ₃

(с учетом В₂ = 0) показан на рисунке. Волновая функция не равна нулю и внутри барь­ера, а в области 3 (при не очень широком барьере) имеет вид волн де Бройля с той же длиной волны, но меньшей амплитудой. Таким образом, частица имеет отличную от нуля вероятность прохождения сквозь потенциальный барьер конечной ширины. Квантовая механика приводит к специфическому квантовому эффекту — туннельному эффекту, в результате которого микрообъект может «пройти» сквозь потенциальный барьер. Коэффициент прозрачности

где D₀ — постоянный множитель, принимаемый обычно равным единице. D сильно зависит от массы т частицы, ширины l барьера и от (U- Е); чем шире барьер, тем меньше вероятность прохождения сквозь него частицы.

Линейный гармонический осциллятор в квантовой механике

Линейный гармонический осциллятор

Система, совершающая одномерное движение под действием квазиупругой силы.

Потенциальная энергия гармонического осциллятора

( ₀— собственная частота колебаний осциллятора; m— масса частицы).

Квантовый осциллятор

Гармонический осциллятор, описываемый уравнением Шредингера, учитывающим значение потенциальной энергии:

Это уравнение решается только при собственных значениях энергии:

Энергия принимает дискретные значения, т. е. квантуется. Уровни энергии расположены на одинаковых расстояниях, равных .

Энергия нулевых колебаний

Т ипична для квантовых систем; прямое следствие соотношения неопреде­ленностей. Частица в яме любой формы не может находиться на ее дне (в нуль обращается импульс частицы и ее неопределенность; а неопределенность координаты становится сколь угодно большой, что противоречит пре­быванию частицы в «потенциальной яме»).

Частица может быть обнаружена за пределами классически дозво­ленной области На

рисунке демонстрируется квантовая плотность вероятности W обнару­жения осциллятора при n=1, имеющая конечные значения для х ≥ х_max.

Элементы современной физики атомов и молекул

Водородоподобный атом в квантовой механике

П отенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом Ze

(г — расстояние между электроном и ядром; Z — порядковый номер элемента; ε₀— электрическая постоянная). Графически функция U(r) изображена на рисунке. U с уменьшением г между электро­ном и ядром (при приближении электрона к ядру) неограниченно убывает.

Уравнение Шредингера

для стационарных состояний электрона

(m— масса электрона; Е — полная энергия электрона в атоме).

Собственные значения энергии

Возможные значения энергии Е₁, Е₂, Е₃, … показаны на рисунке в виде горизонтальных прямых

Уровень E, отвечающий минимальной возможной энергии, - основной, все остальные (Е_n > Е₁, n = 2, 3, ...) — возбужденные.

При Е < 0 движение электрона связанное — он находится внутри гиперболической «потенциальной ямы». По мере роста n уровни располагаются теснее и при n= ∞.Е∞=0. При Е > 0 движение электрона свободное; область непрерывного спектра Е > 0 (на рисунке заштрихована) соответствует ионизированному атому. Энергия ионизации атома водорода