Функция распределения Ферми и её статистический смысл.

Рассмотрим как распределяются в металле свободные электроны, по энергетическим состояниям электроны являются фермионами.

Закон распределения электронов по энергиям в металле был найден Ферми и Дираком.

Вводится функция распределения Ферми

где - энерия уровня; - химический потенциал или энергия Ферми; - постоянная Больцмана; - абсолютная температура.

Функция распределения Ферми вырастает в математическую вероятность того, что энергетический уровень при данной температуре занят электронами, т.е. показывает распределение электронов по состояниям и показывает кол-во электронов находящихся в квантовом состоянии с энергией .

Каждый энергетический уровень отвечает определённому значению энергии. Согласно принципу Паули на каждом разрешённом энергетическом уровне могут находиться 2 электрона, обладающие противоположными спинами.

Разрешённая зона, возникшая из уровня, на котором находятся валентные электроны в основном состоянии атома называется валентной зоной.

Частичное заполнение валентной зоны (а в металле её называют зоной проводимости) наблюдается в тех случаях, когда на последнем занятом уровне в атоме находится только один электрон или когда имеет место перекрывание зон. Зоной проводимости называется эта зона потому, что в отсутствии внешних возбуждений в ней нет электронов, а когда в эту зону перейдёт электрон, получив необходимую энергию, то сможет в этой зоне свободно изменять свою энергию, участвовать в проводимости.

Ширина энергетической зоны не зависит от размеров кристалла, а зависит от его строения, а количество энергетических уровней в зоне равно числу атомов в кристалле.

1) При абсолютном нуле T=0 все уровни с энергией, меньшей энергии Ферми, заняты электронами.

Все уровни, энергия которых больше энергии Ферми свободны. Энергия Ферми равна кинетической энергии электронов на этом уровне.

2) При T=0

Если = , то

где - энергия уровня; - энергия Ферми.

При температуре, отличной от нуля уровень Ферми совпадает с тем разрешённым уровнем, вероятность заполнения которого равна ½. Т.е. энергия Ферми не является верхней границей заполненных уровней и энергия Ферми не равна максимальной кинетической энергии.

Энергия Ферми не зависит ни от конкретной формы, ни от объёма данного образца металла. Она зависит лишь от того, насколько плотно упакованы свободные электроны.

Величина этой энергии равна:

где h – концентрация электронов проводимости.

Энергия отсчитывается от уровня Ферми

Важную роль играет валентная зона, образовавшаяся в результате расщепления самого верхнего занятого уровня.

Для металлов валентная зона заполнена не полностью.

Электроны, заполняющие в металле валентную зону, могут переходить с одного энергетического уровня на другой. Для этого необходимо:

1. Чтобы уровень был свободен.

2. Чтобы электрон получил добавочную энергию равную разности энергий того уровня, на который электрон переходит, с уровня, который он в данный момент занимает.

Дополнительную энергию электроны могут получать при нагревании металла за счёт энергии электрического поля.

Но если учесть, что переход электронов возник только вблизи уровня Ферми, то можно объяснить, что при повышении температуры, при нагревании металла средняя кинетическая энергия электронов мало меняется. Этим объясняется малый вклад электронного газа в теплоёмкость металла.

Что же касается теплопроводности металлов, то можно утверждать, что под действием электрического поля изменяют свою энергию только те электроны, которые находятся вблизи уровня Ферми.