Понятие о квантовой статистике. Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака.

Реальную систему можно в хорошем приближении считать идеальным газом. Состояние системы невзаимодействующих частиц задаётся с помощью так называемых чисел К заполнения N чисел, указывающих степень заполнения квантового состояния частицами системы, состоящей из многих тождественных частиц. Частицы с нулевым или целочисленным спином называют бозонами (П-мезоны, фотоны). Газ из базонов называют бозегаз.

Числа заполнения могут принимать любые целые значения 0,1,2… Идеальный газ из базонов, т.е. бозегаз описывается квантовой статистикой.

Бозе-Эйнштейн

где - среднее число бозонов, в квантовом состоянии; -химический потенциал; К- постоянная Больцмана; Т- температура.

Это распределение получается из распределения Гиббса

где - вероятность данного состояния; n – совокупность всех квантовых чисел.

Фермионы – частицы с полуцелым спином.

Идеальный газ из фермионов называется Ферми-газ.

N числа заполнения могут принимать лишь 2 значения 0 и 1. 0 – для свободных состояний; 1 – для занятых состояний.

Ферми газ подчиняется квантовой статистике Ферми-Дирака

где - среднее число фермионов; - химический потенциал.

Если

то и распределение Бозе-Эйнштейна и Ферми-Дирака переходят в классическое распределение Максвелла-Больцмана т.е. при высоких температурах оба газа ведут себя подобно классическому идеальному газу.

Система частиц называется вырожденной, если её свойства существенным образом, отличаются от свойств систем, подчиняющихся классической статистике.

Поведение бозе-газа и ферми-газа отличается от классического газа. Они являются вырожденными газами.

Особенно это проявляется при очень низких температурах и больших плотностях.

Температура вырождения – температура ниже которой проявляются квантовые свойства идеального газа.

Элементы квантовой теории металлов.

Квантовая теория металлов, созданная в 20х годах прошлого столетия Френкелем (СССР) и Зоммерфельдом. На основе идей квантовой механики учитывает специфические свойства свободных электронов.

Основные положения квантовой теории металлов.

В основе квантовой теории металлов лежат принципиально новые идеи.

1) Идея о двойственной корпускулярно-волновой природе электронов.

Движение электрона в пространстве следует представить как процесс распространения своеобразной электронной волны, способной к интерференци, дифракции. Но понятие траектории не применимо.

Невозможно так же одновременно и точно определение положения электрона и его скорости.

2) Идея о дискретности

Энергия свободных электронов в металле может принимать не любые, а только некоторые дискретные значения, причём изменения могут происходить не непрерывно, а скачком.

3) Идея о неразличимости электронов в металле. Свободные электроны подчиняются не классической, статике Максвелла-Больцмана, в которой каждую частицу можно зафиксировать, а квантовой статистике Ферми-Дирака.

4) Важное значение для квантовой теории металлов имеет принцип Паули.

По квантовой теории состояние электрона как в изолированном атоме, так и в кристалле определяется набором четырёх квантовых чисел.

Согласно принципу Паули в атоме, молекуле, кристалле не может быть двух электронов, находящихся в тождественных квантовых состояниях, т.е. состояниях, определяемых одинаковым набором квантовых чисел.