Описание микрочастиц с помощью волновой функции.

Статистический (вероятностный) характер описания состояния микрообъекта.

W

Квадрат модуля волновой функции (квадрат модуля амплитуды волн де Бройля) определяет вероятность нахождения частицы в момент времени t в области с координатами x и x+dx, y и y+dy, и z и z+dz.

Волновая функция – основной носитель информации о корпускулярных и волновых свойствах микрочастиц.

Вероятность нахождения частицы в объеме dV.

( волновая функция, описывающая состояние частицы; - функция, комплексно сопряженная с ; квадрат модуля волновой функции).

Вероятность нахождения частицы в объеме V.

W= .

Волновая функция должна быть конечной (вероятность не может быть больше единицы), однозначной (вероятность не может быть неоднозначной величиной), непрерывной (вероятность не может изменяться скачком).

Условие нормировки вероятностей.

(интегрирование производится по всему бесконечному пространству, т.е. по координатам x,y,z от - до + ).

Плотность вероятности

Вероятность нахождения частицы в окрестности точки с координатами x,y,z: .

Квадрат модуля волновой функции задает интенсивность волн де Бройля.

Средние значения физических величин.

Волновая функция позволяет вычислять средние значения физических величин, характеризующих данный микрообъект. Например, среднее расстояние

Общее уравнение Шредингера

Принцип суперпозиции

Если система может находиться в различных состояниях, описываемых волновыми функциями , ,…, ,…, то она также может находиться в состоянии , описываемом линейной комбинацией этих функций ( - произвольные, вообще говоря, комплексные числа).

Сложение волновых функций ( амплитуд вероятностей), а не вероятностей ( определяемых квадратами модулей волновых функций) принципиально отличает квантовую теорию от классической статистической теории, в которой для независимых событий справедлива теорема сложения вероятностей.

Какое уравнение должно описывать движение микрочастиц?

Это уравнение, исходя из статистического толкования волн де Бройля и соотношения неопределенностей, должно быть уравнением относительно волновой функции (x,y,z,t), так как определяет вероятность пребывания частицы в элементе объема; оно должно быть волновым уравнением (учитывать волновые свойства частиц); из него должны вытекать наблюдаемые на опыте волновые свойства частиц. Это уравнение постулировано для частицы, движущейся со скоростью <<c.

Нерелятивистское общее уравнение Шредингера.

, где ; m – масса частицы; - оператор Лапласа.

; i – мнимая единица; U(x,y,z,t) – потенциальная функция частицы в силовом поле; (x,y,z,t) – искомая волновая функция частицы.

Оно дополняется условиями, накладываемыми на волновую функцию:

1. волновая функция должна быть конечной, однозначной и непрерывной;

2. производные должны быть непрерывны;

3. функция должна быть интегрируема; это условие в простейших условиях сводится к условию нормировки вероятностей.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний.

Для многих физических явлений, происходящих в микромире, общее уравнение Шредингера можно упростить, исключив зависимость от времени, т.е.найти уравление Шредингера для стационарных состояний – состояний с фиксированными значениями энергии. В данном случае силовое поле, в котором частица движется, стационарно, т.е. U=U(x,y,z) имеет смысл потенциальной энергии.

Уравнение Шредингера для стационарных состояний имеет вид:

.

Посредством наложения граничных условий отбирают решения, имеющие физический смысл. Ими являются условия регулярности волновых функций: волновые функции должны быть конечными, однозначными и непрерывными вместе со своими первыми производными. Реальный физический смысл имеют только такие решения, которые выражаются регулярными функциями . Но регулярные решения имеют место не при любых значениях параметра E, а лишь при определенном их наборе, характерном для данной задачи. Эти значения энергии называются собственными. Решения, которые соответствуют собственным значениям энергии, называются собственными функциями. Собственные значения E могут образовывать как непрерывный, так и дискретный ряд. В первом случае говорят о непрерывном спектре, во втором – о дискретном спектре.