5.2.2.Звязок між функцією, її границею і нескінченно малою функцією

Теорема 17.6. Якщо функція f(x) можна представити у вигляді суми числа А і нескінченно малої функції a(х), тобто f(x)=А+a(х) якщо, то

□ Нехай отже

,

тобто Це означає, що функція f(x) -А має границю, рівну нулю, тобто є н.м.ф., яку позначимо через a(х) :

f(x)-А=a(х).Звідси f(x)=А+a(х). ■

Теорема 17.6(обернена). Якщо функцію f(x)можна представити у вигляді суми числа А і нескінченно малої функції a(х), те число А є границею функції f(x), тобто f(x)=А+a(х), то .

□ Нехай f(x)=А+a(х), де a(х)- н.м.ф. при, т .е. .

Тоді

.

А оскільки по умові f(x)=А+a(х), то a(х)= f(x)-А. Отримуємо

.

А це і означає, що .■

Приклад 17.2. Довести, що .

○ Функцію 5+х можна представити у вигляді суми числа 7 і н.м.ф. х-2(при ), тобто виконана рівність 5+х=7+(х-2). Отже, по теоремі 17.6 одержуємо ●

5.5.3. Основні теореми про границі.

Розглянемо теореми, які полегшують знаходження границь функції. Формулювання і доведення теорем для випадків, коли і, аналогічне. В теоремах, що приводяться, вважатимемо, що границі

існують.

Теорема 17.7. Границі суми(різниці) двох функцій рівний сумі (різниці) їх границь :

□ Нехай . Тоді по теоремі 17.5 про зв'язок функції, її границі і н.м.ф. можна записати f(x)=A+a(x) і j(х)=В+b(х). Отже, f(x)+ j(х)=A+В+(a(x)+ b(х)). Тут a(x)+ b(х)-н.м.ф. По теоремі 17.6 про зв'язок функції, її границі і н.м.ф. можна записати, тобто

У разі різниці функцій доведення аналогічно.■

Теорема спарведлива для суми алгебри будь-якого кінцевого числа функцій.

Наслідок 17.3. Функція може мати тільки одну границю при .

Нехай і . По теоремі 17.7 маємо :

.

Звідси А-В=0, тобто А=В.

Теорема 17.8. Границя добутку двох функцій рівна добутку їх границь :

□ Доведення аналогічне попередньому, проведемо його без особливих пояснень. Оскільки ,то

де - н.м.ф. Отже

тобто

Вираз в дужках є н.м.ф. Тому

,

тобто

Відзначимо, що теорема справедлива для добутку будь-якого кінцевого числа функцій.■

Наслідок 17.4. Постійний множник можна виносити за знак границі :

.

Наслідок 17.5. Границя степеня з натуральним показником рівний тому ж степеню границі. Зокрема .

Теорема 17.9. Границя дробу рівна границі чисельника, діленій на границю знаменника, якщо границя знаменника не рівна нулю :

□ Доведення аналогічне попередньому. З рівності

слідує співвідношення f(x)=A+a(x) і j(х)=В+b(х). Тоді

Другий доданок є н.м.ф. як приватне від розподілу б.м.ф. на функцію, що має відмінний від нуля межу.

Тому тобто ■

Розглянемо приклад.

Приклад 17.3. Обчислить

○

●

Приклад 17.4. Обчислити

○ Тут застосувати теорему про границю дробу не можна, оскільки границя знаменника, при, рівний 0. Крім того, границя чисельника рівна 0. В таких випадках говорять, що маємо невизначеність вигляду . Для її розкриття розкладемо чисельник і знаменник дробу на множники, потім скоротимо дріб на ( , але ) :

●

Приклад 17.5. Обчислити

○ Тут ми маємо справу з невизначеністю вигляду . Для знаходження границі даного дробу розділимо чисельник і знаменник на :

.

Функція є сума числа 2 і н.м.ф., тому

●