Змістовий модуль 5 вступ до математичного аналізу

Тема 5.1. Множини. Дійсні числа.

5.1.1. Основні поняття.

5.1.2. Числові множини. Множина дійсних чисел.

5.1.3. Числові проміжки. Околи точки.

Тема 5.2. Функція.

5.2.1. Поняття функції.

5.2.2. Числові функції. Графік функції. Способи задання функції.

5.2.3. Основні характеристики функції.

5.2.4. Обернена функція.

5.2.5. Складна функція.

5.2.6. Основні елементи функції та їх графіки.

Тема 5.3. Послідовності.

5.3.1. Числова послідовність.

5.3.2. Границя числової послідовності.

5.3.3. Граничний перехід в нерівностях.

5.3.4. Границя монотонної обмеженої послідовності. Число . Натуральні логарифми.

Тема 5.4. Границя функції.

5.4.1. Границя функції в точці.

5.4.2. Односторонні границі.

5.4.3. Границя функції при .

5.4.4. Нескінченно велика функція (н. в. ф.) .

Тема 5.5. Нескінченно малі функції (н. м. ф.).

5.5.1. Визначення і основні теореми.

5.5.2. Зв'язок між функцією, її границею і нескінченно малою функцією.

5.5.3. Основні теореми про границі.

5.5.4. Ознаки існування границь.

5.5.5. Перша чудова границя.

5.5.6. Друга чудова границя.

Тема 5.6. Еквівалентні нескінченно малі функції.

5.6.1. Порівняння нескінченно малих функцій.

5.6.2. Еквівалентні нескінченно малі і основні теореми про них.

5.6.3. Застосування еквівалентних нескінченно малих функцій

Тема 5.7. Неперервність функцій.

5.7.1. Неперервність функції в точці.

5.7.2. Неперервність функції на інтервалі і на відрізку.

5.7.3. Точки розриву функції та їх класифікація.

5.7.4. Основні теореми про неперервні функції. Неперервність елементарних функцій.

5.7.5. Властивості функцій, неперервних на відрізку.

Тема 5.1. Множини. Дійсні числа.

5.1.1. Основні поняття

Поняття множини є одним з основних не означуваних понять математики. Під множиною розуміють сукупність (збір, клас, сімейство) деяких об'єктів, з'єднаних по якій-небудь ознаці. Так можна говорити про множину студентів інституту, про множину риб в Чорному морі, про множину коренів рівняння , про множину всіх натуральних чисел і т.д.

Об'єкти, з яких складається множина, називається його елементами. Множини прийнято позначати заголовними буквами латинського алфавіту а їх елементи – малими буквами .

Якщо елемент належать множині , то записують ; запис означає, що елемент не належить множині .

Множина, що не містить жодного елемента, називається порожньою позначається символом .

Елементи множини записують у фігурних дужках, усередині яких вони перераховані (якщо це можливо), або вказано загальну властивість, якою володіють всі елементи даної множини.

Наприклад, запис означає, що множина складається з трьох чисел 1, 3 і 15; запис означає, що множина складається зі всіх дійсних(якщо не обумовлено інше) чисел, що задовольняють умові .

Множина називається підмножиною множини , якщо кожний елемент множини є елементом множини . Символічно це позначають так (« включено у ») або (« множина включає множину »).

Говорять, що множини і рівні або співпадають, і пишуть , якщо і . Іншими словами, множини, що складаються з одних і тих же елементів, називаються рівними.

Об'єднанням (або сумою) множин і називається множина, що складається з елементів, кожний з яких належить хоча б одній з цих множин. Об'єднання (сума) множин позначають (або ). Стисло можна записати або .

Перетином (або) множин і називається множина, що складається з елементів, кожний з яких належить множині А і множині В. Перетин множин позначають (або ). Стисло можна записати або .В подальшому для скорочення записів використовуватимемо деякі найпростіші логічні символи :

- означає « з пропозиції слідує пропозиція »;

- « пропозиції і рівносильні », тобто з слідує і з слідує ;

- означає « для будь-кого » , «для всякого »;

- « існує » « знайдеться »;

: - « має місце » « таке що »;

- « відповідність ».

Наприклад : 1) запис означає : « для всякого елемента має місце пропозиція »;

2) або ; цей запис визначає об'єднання множин і .