- •Змістовий модуль 5 вступ до математичного аналізу
- •Тема 5.1. Множини. Дійсні числа.
- •5.1.1. Основні поняття
- •5.1.2. Числові множини. Множина дійсних чисел
- •Тема 5.2. Функція
- •5.1.1. Поняття функції
- •5.2.2. Числові функції. Графік функції. Способи задання функцій
- •5.2.3. Основні характеристики функції
- •5.2.4. Обернена функція
- •5.2.5.Складна функція
- •5.2.6. Основні елементарні функції і їх графіки
- •Прикладами неелементарних функцій можуть служити функції
- •Тема 5.3. Послідовності
- •5.3.1. Числова послідовність
- •5.3.2. Границя числової послідовності
- •5.3.3. Граничний перехід в нерівностях
- •Тема 5.4. Границя функції
- •5.4.1. Границя функції в точці
- •5.4.2.Односторонні границі
- •5.4.3. Границя функції при х®¥
- •16.4.Нескінчено велика функція (н.В.Ф.)
- •Тема 5.5. Нескінченно малі функції (н. М. Ф.)
- •5.5.1. Означення і основні теореми.
- •5.2.2.Звязок між функцією, її границею і нескінченно малою функцією
- •5.5.3. Основні теореми про границі.
- •5.5.4. Ознаки існування границь
- •5.5.5. Перша чудова границя
- •5.5.6. Друга чудова границя
- •Тема 5.6.Еквівалентні нескінченно малі функції
- •5.6.1. Порівняння нескінченно малих функцій
- •5.6.2.Еквівалентні нескінченно малі і основні теореми про них
- •5.6.3.Застосування еквівалентних нескінченно малих функцій. Обчислення границь.
- •Тема 5.7. Неперервність функцій
- •5.7.4. Основні теореми про неперервні функції. Неперервність елементарних функцій
- •5.7.5 Властивості функцій, неперервних на відрізку
5.2.5.Складна функція
Нехай функція визначена на множині , а функція на множині , причому для відповідне значення . Тоді на множині визначена функція , яка називається складною функцією від (або суперпозицією заданих функцій, або функцією від функції ).
Змінну називають проміжним аргументом складної функції.
Наприклад, функція є суперпозиція двох функцій . Складна функція може мати декілька проміжних аргументів.
5.2.6. Основні елементарні функції і їх графіки
Основними елементарними функціями називаються наступні функції.
П оказникова функція . На рис. 104 показані графіки показникових функцій, відповідні різним показникам степеня.
Степенева функція . Приклади графіків степеневих функцій, відповідних різним показникам степеня, надані на рис 105.
3) Логарифмічна функція . Графіки логарифмічних функцій, відповідні різним основам, показані на рис. 106
4 ) Тригонометричні функції y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx. Графіки тригонометричних функцій мають вигляд, показаний на рис. 107.
5) Обернені тригонометричні функції . На рис. 108 показані графіки обернених тригонометричних функцій.
Функція, що задається однією формулою, складеною з основних елементарних функцій і постійних за допомогою скінченного числа арифметичних операцій (додавання, віднімання, множення, ділення) і операцій взяття функції від функції, називається елементарною функцією.
Прикладами елементарних функцій можуть служити функції
Прикладами неелементарних функцій можуть служити функції
Тема 5.3. Послідовності
5.3.1. Числова послідовність
Під числовою послідовністю … розуміється функція
(15.1)
задана на множині натуральних чисел. Стисло послідовність позначається у вигляді або . Число називається першим членом (елементом) послідовності, - другим , -загальним або n-м членом послідовності.
Частіше всього послідовність задається формулою його загального виду члена. Формула (15.1) дозволяє обчислити будь-який член послідовності по номеру n, по ній можна відразу обчислити будь-який член послідовності.
Так, рівність
,
задають відповідно послідовності
=
Послідовність називається обмеженою, якщо існує таке число , що для будь-кого виконується нерівність
В окремому випадку послідовність називається необмеженою. Легко бачити, що послідовності і обмежені, а і – не обмежені.
Послідовність називається зростаючою (не спадною), якщо для будь-кого n виконується нерівність . Аналогічно визначається спадна (е зростаюча) послідовність. Всі ці послідовності називаються монотонними послідовностями . Послідовності , і монотонні, а - не монотонна.
Якщо всі елементи послідовності рівні одному і тому ж числу з, то її називають постійною.
Інший спосіб завдання числових послідовностей- рекурентний спосіб. В ньому задається початковий елемент (перший член послідовності) і правило визначення n-го елемента по (n-1)-му :
.
Таким чином, , і т.д. При такому способі задання послідовності для визначення 100-го члена треба спочатку порахувати всі 99 попередніх.