- •Змістовий модуль 5 вступ до математичного аналізу
- •Тема 5.1. Множини. Дійсні числа.
- •5.1.1. Основні поняття
- •5.1.2. Числові множини. Множина дійсних чисел
- •Тема 5.2. Функція
- •5.1.1. Поняття функції
- •5.2.2. Числові функції. Графік функції. Способи задання функцій
- •5.2.3. Основні характеристики функції
- •5.2.4. Обернена функція
- •5.2.5.Складна функція
- •5.2.6. Основні елементарні функції і їх графіки
- •Прикладами неелементарних функцій можуть служити функції
- •Тема 5.3. Послідовності
- •5.3.1. Числова послідовність
- •5.3.2. Границя числової послідовності
- •5.3.3. Граничний перехід в нерівностях
- •Тема 5.4. Границя функції
- •5.4.1. Границя функції в точці
- •5.4.2.Односторонні границі
- •5.4.3. Границя функції при х®¥
- •16.4.Нескінчено велика функція (н.В.Ф.)
- •Тема 5.5. Нескінченно малі функції (н. М. Ф.)
- •5.5.1. Означення і основні теореми.
- •5.2.2.Звязок між функцією, її границею і нескінченно малою функцією
- •5.5.3. Основні теореми про границі.
- •5.5.4. Ознаки існування границь
- •5.5.5. Перша чудова границя
- •5.5.6. Друга чудова границя
- •Тема 5.6.Еквівалентні нескінченно малі функції
- •5.6.1. Порівняння нескінченно малих функцій
- •5.6.2.Еквівалентні нескінченно малі і основні теореми про них
- •5.6.3.Застосування еквівалентних нескінченно малих функцій. Обчислення границь.
- •Тема 5.7. Неперервність функцій
- •5.7.4. Основні теореми про неперервні функції. Неперервність елементарних функцій
- •5.7.5 Властивості функцій, неперервних на відрізку
16.4.Нескінчено велика функція (н.В.Ф.)
Функція називається нескінченно великою при , якщо для будь-якого числа M>0 існує число , що для всіх х, задовольняючих нерівності , виконується нерівність . Записують або при .
Коротко :
Наприклад, функція є н.в.ф. при х®2.
Якщо f(x) прагне нескінченності при і приймає лише додатні значення, то пишуть ; якщо лише від’ємні значення, то
Функція , задана на всій числовій прямій, називається нескінченно великою при , якщо для будь-якого числа М>0 знайдеться таке число N=N(M)>0, що при всіх х, задовольняючих нерівності |x|>N, виконується нерівність . Коротко :
Наприклад, у=2х є н.в.ф. при
Відзначимо, що аргумент х, прагнучи нескінченності, приймає лише натуральні значення, тобто , то відповідна н.в.ф. стає нескінченно великою послідовністю. Наприклад, послідовність , є нескінченно великою послідовністю. Очевидно, всяка н.в.ф. в околі точки є необмеженою в цій околу. Обернене твердження невірно :необмежена функція може і не бути н.в.ф. (Наприклад, у=xsinx.).Однако, якщо, де А- скінчене число, то функція f(x) обмежена в околі точки .
Дійсно, з означення границі функції виходить, що при виконується умова Отже, при , а це і означає, що функція f(x) обмежена.
Тема 5.5. Нескінченно малі функції (н. М. Ф.)
5.5.1. Означення і основні теореми.
Функція називається нескінченно малою при , якщо
(17.1)
За означенням границі функції рівність (17.1) означає : для будь-якого числа e>0 знайдеться таке, що для всіх х, задовольняючих нерівності , виконується нерівність .
Аналогічно визначається н.м.ф. при , , , : у всіх цих випадках .
Нескінченно малі функції часто називають нескінченно малими величинами або нескінченно малими; позначають звичайно грецькими буквами a,b і т.д.
Прикладами н.м.ф. служать функції при ; у=х-2 при х®2; y=sinx при х®p до, до є Z.
Інший приклад : , , - нескінченно мала послідовність.
Теорема 17.1.Алгебраическая сума скінченого числа нескінченно малих функцій є нескінченно мала функція.
□ Нехай a(х) і b(х) –дві н.м. функції при . Це значить, що, тобто для будь-кого , а значить, і знайдеться число d1 >0 таке, що для всіх х, задовольняючих нерівності , виконується нерівність
(17.2)
і, тобто
. (17.3)
Нехай d-найменше з чисел d1 і d2. Тоді для всіх х, задовольняючих нерівності , виконуються обидві нерівності (17.2) і (17.3). Отже, має місце співвідношення
Таким чином
.
Це значить, що , тобто a(х)+b(х)-н.м.ф. при .
Аналогічно проводиться доведення для будь-якого кінцевого числа н.м. функцій.■
Теорема 17.2. Добуток обмеженої функції на нескінченно малу функцію є функція нескінченно мала.
□ Нехай функція f(x) обмежена при .Тогда існує таке число М>0, що
(17.4)
для всіх х з d1-околу точки . І нехай a(х)-н.м.ф. при .Тогда для будь-кого , а значить, і знайдеться таке число d2>0 що при всіх х, задовольняючих нерівності , виконується нерівність
. (17.5)
Позначимо через d якнайменше з чисел d1 і d2. Тоді для всіх х, задовольняючих нерівності виконуються обидві нерівності (17.4) і (17.5). Отже . А це означає, що добуток при є нескінченно мала функція. ■
Наслідок 17.1. Оскільки всяка б.м.ф. обмежена, то з теореми (17.2) витікає : твір двох б.м.ф. є функція нескінченно мала.
Наслідок 17.2. Добуток б.м.ф. на число є функція нескінченно мала.
Теорема 17.3. Частка від ділення нескінченно малої функції на функцію, що має відмінну від нуля границю, є функція нескінченно мала.
□ Нехай, а . Функція може бути представлений у вигляді добутку б.м.ф. a(х) на обмежену функцію . Але тоді з теореми (17.2) витікає, що частка є функція нескінченно мала.
Покажемо, що функція обмежена. Візьмемо e>|a|. Тоді, на підставі визначення границі, знайдеться , що для всіх х, задовольняючих нерівності , виконується нерівність .А оскільки , то , тобто . Отже
тобто функція - обмежена.■
Теорема 17.4. Якщо функція a(х)- нескінченно мала (a¹0), то функція є нескінченно велика функція і навпаки : якщо функція f(x)- нескінченно велика, то - нескінченно мала.
□ Нехай a(х) є б.м.ф. при тобто . Тоді
,
тобто тобто , де . А це означає, що функція є нескінченно велика. Аналогічно доводиться зворотне твердження. ■
Зауваження : Доведення теорем приводилися для випадку, коли, але вони справедливі і для випадку, коли .
Приклад 17.1. Показати, що функція
при є нескінченно малою.
○ Оскільки , то функція j(х)=(х-1)2 є нескінченно мала при . Функція g(х)=sinх є добутком обмеженої функції (g(х)) на нескінченно малу (j(х)). Значить, f(x)- нескінченно мала при .●