- •Змістовий модуль 5 вступ до математичного аналізу
- •Тема 5.1. Множини. Дійсні числа.
- •5.1.1. Основні поняття
- •5.1.2. Числові множини. Множина дійсних чисел
- •Тема 5.2. Функція
- •5.1.1. Поняття функції
- •5.2.2. Числові функції. Графік функції. Способи задання функцій
- •5.2.3. Основні характеристики функції
- •5.2.4. Обернена функція
- •5.2.5.Складна функція
- •5.2.6. Основні елементарні функції і їх графіки
- •Прикладами неелементарних функцій можуть служити функції
- •Тема 5.3. Послідовності
- •5.3.1. Числова послідовність
- •5.3.2. Границя числової послідовності
- •5.3.3. Граничний перехід в нерівностях
- •Тема 5.4. Границя функції
- •5.4.1. Границя функції в точці
- •5.4.2.Односторонні границі
- •5.4.3. Границя функції при х®¥
- •16.4.Нескінчено велика функція (н.В.Ф.)
- •Тема 5.5. Нескінченно малі функції (н. М. Ф.)
- •5.5.1. Означення і основні теореми.
- •5.2.2.Звязок між функцією, її границею і нескінченно малою функцією
- •5.5.3. Основні теореми про границі.
- •5.5.4. Ознаки існування границь
- •5.5.5. Перша чудова границя
- •5.5.6. Друга чудова границя
- •Тема 5.6.Еквівалентні нескінченно малі функції
- •5.6.1. Порівняння нескінченно малих функцій
- •5.6.2.Еквівалентні нескінченно малі і основні теореми про них
- •5.6.3.Застосування еквівалентних нескінченно малих функцій. Обчислення границь.
- •Тема 5.7. Неперервність функцій
- •5.7.4. Основні теореми про неперервні функції. Неперервність елементарних функцій
- •5.7.5 Властивості функцій, неперервних на відрізку
5.1.2. Числові множини. Множина дійсних чисел
Множини, елементами яких є числа, називаються числовими. Прикладами числових множин є :
- множина натуральних чисел;
={ 0 ;1;2; . ; ,.}- множина цілих невід’ємних чисел;
={0; ±1; ±2; .; ± ; .} – множина цілих чисел;
={ : , }- множина раціональних чисел.
- множина дійсних чисел.
Між цими множинами існує співвідношення.
Множина R містить раціональні і ірраціональні числа. Всяке раціональне число виражається або скінченним десятковим дробом або нескінченним періодичним дробом. Так =0,5(=0,500.) =0,333. - раціональні числа.
Дійсні числа, що не є раціональними, називаються ірраціональними.
Теорема 13.1. Не існує раціонального числа, квадрат якого рівний числу 2.
□ Припустимо, що існує раціональне число, представлене нескоротним дробом , квадрат якого рівний 2. Тоді маємо :
= 2, тобто
Звідси випливає, що (а значить, і ) – парне число, тобто . Підставивши в рівність , отримаємо , тобто . Звідси витікає, що число – парне, тобто . Але тоді дріб дорівнює скоротим . Це суперечить припущенню, що дріб скорочується. Отже, не існує раціонального числа, квадрат якого рівний числу 2. ■
Ірраціональне число виражається нескінченним неперіодичним дробом. Так =1,4142356.. p = 3,14155926. - ірраціональні числа. Можна сказати : множина дійсних чисел є множина всіх нескінченних десяткових дробів. І записати
Множина дійсних чисел володіє наступними властивостями.
Вона впорядкована : для будь-яких двох різних чисел і має місце одне з двох співвідношень або .
Множина щільна : між будь-якими двома різними числами і міститься нескінченна множина дійсних чисел x, тобто чисел, що задовольняють нерівності .
Так, якщо , то одним з них є число
і
3.Множина неперервна. Нехай множина розбита на два непорожні класи і таких, що кожне дійсне число міститься тільки в одному класі і для кожної пари чисел і виконано нерівність . Тоді ( властивість неперервності) існує єдине , яке задовольняє нерівності Воно відділяє числа класу від чисел класу . Число є або найбільшим числом в класі ( тоді в класі немає якнайменшого числа ), або якнайменшим числом в класі ( тоді в класі немає найбільшого ).
Властивість неперервності дозволяє встановити взаємно-однозначну відповідність між множиною всіх дійсних чисел і множиною всіх точок прямої. Це означає, що кожному числу відповідає певна ( єдина ) точка числової осі і, навпаки, кожній точці осі відповідає певне ( єдине ) дійсне число. Тому замість слова « число» часто говорять « точка».
5.1.3. Числові проміжки. Окіл точки
Нехай і – дійсні числа, причому .
Числовими проміжками (інтервалами ) називають підмножини всіх дійсних чисел, що мають наступний вигляд :
– відрізок (сегмент, замкнутий проміжок );
– інтервал ( відкритий проміжок );
- напіввідкриті інтервали ( або напіввідкриті відрізки );
;
;
– нескінченні інтервали ( проміжки ).
Числа і називаються відповідно лівим і правим кінцями цих проміжків. Символи і не числа, це символічне позначення процесу необмеженого видалення точок числової осі від початку 0 вліво і управо.
Н ехай – будь-яке дійсне число (точки на числовій прямій ). Околом точки називається будь-який інтервал , що містить точку . Зокрема, інтервал , де , називається - околом точки . Число називається центром, а число - радіусом.
рис. 97
Якщо , то виконується нерівність , або, що те ж . Виконання останньої нерівності означає попадання точки в -околі точки .(див. рис. 97)