9.2. Определение траекторий точек тела

Рассмотрим точку М тела, положение которой в сечении (S) определяется расстоянием b = AM от полюса А и углом ВАМ = α (рис. 9.4). Если движение тела задано уравнениями (9.1), то координаты x и y точки М в осях Oxy будут:

, (9.2)

где x_A, y_A и φ – известные по уравнениям (10.1) функции времени.

Уравнения (9.2.), определяющие закон движения точки M в плоскости Oxy, дают одновременно уравнение траектории этой точки в параметрическом виде. Обычное уравнение траектории получим, исключив из системы (9.2) время t.

9.3. Определение скоростей точек тела

Положение любой точки М, лежащей в сечении (S) тела, определяется по отношению к осям Oxy радиус-вектором (рис. 9.5):

,

где – радиус-вектор полюса А;

– вектор, определяющий положение точки М относительно осей , перемещающихся вместе с полюсом А поступательно (движение сечения (S) по отношению к этим осям представляет собой вращение вокруг полюса А). Тогда

.

В полученном равенстве величина есть скорость полюса А; а − скорость , которую точка М получает при вращении тела вокруг полюса А. В итоге получаем

, (9.3)

где

(9.4)

здесь ω – угловая скорость вращения тела.

Таким образом, скорость любой точки М тела геометрически складывается из скорости какой-нибудь другой точки А, принятой за полюс, и скорости точки М в её вращении вместе с телом вокруг этого полюса.

Модуль и направление скорости находится построением соответствующего параллелограмма (рис. 9.6).

9.4. Теорема о проекциях скоростей двух точек тела

Э та теорема позволяет получить более простой и удобный метод определения скоростей точек тела.

Согласно теореме проекции скоростей двух точек твёрдого тела на прямую, соединяющую эти точки, равны.

Рассмотрим какие-нибудь две точки тела А и В (рис.9.7). Принимая точку А за полюс, получаем по формуле (9.3), что

. (9.5)

Проектируя обе части равенства на линию АВ и учитывая, что вектор перпендикулярен к АВ, находим:

,

что и требовалось доказать.

Эта теорема позволяет легко находить скорость данной точки тела, если известны направление движения этой точки и скорость какой-нибудь другой точки того же тела.

9.5. Определение скоростей точек тела

с помощью мгновенного центра скоростей

Д ругой простой и наглядный метод определения скоростей точек тела при плоскопараллельном движении основан на понятии о мгновенном центре скоростей.

Мгновенным центром скоростей называется точка Р тела, скорость которой в данный момент времени равна нулю.

Если тело движется непоступательно, то такая точка в каждый момент времени t существует и притом единственная.

Пусть в момент времени t точки А и В тела, лежащие в сечении S, имеют скорости и , не параллельные друг другу (рис. 9.8). Тогда точка Р, лежащая на пересечении перпендикуляров Аа к вектору и Вв к вектору , и будет мгновенным центром скоростей, т. к. .

Если допустить, что , то (по теореме о проекциях скоростей точек тела), вектор должен быть одновременно перпендикулярен к АР (так как ) и к ВР (так как ), что невозможно.

Если в момент времени t взять точку Р за полюс, то по формуле (10.3) скорость точки А будет равна

,

так как . Аналогичный результат получается для любой другой точки тела.

Следовательно, скорость любой точки тела, лежащей в сечении S, равна её вращательной скорости вокруг мгновенного центра скоростей Р:

и т. д. (9.6)

Из равенства (9.6) следует также, что

(9.7)

т. е., что скорости точек тела пропорциональны их расстояниям до мгновенного центра скоростей.

Полученные результаты приводят к следующим выводам:

1. Для определения мгновенного центра скоростей надо знать только направления скоростей и каких-нибудь двух точек А и В сечения тела; мгновенный центр скоростей находится в точке пересечения перпендикуляров, восстановленных из точек А и В к скоростям этих точек.

2. Для определения скорости любой точки тела надо знать модуль и направление скорости какой-нибудь одной точки А тела и направление скорости другой его точки В. Тогда восстановив из точек А и В перпендикуляры к и , мы определим мгновенный центр скорости Р и по направлению определим направление поворота тела. После этого, зная , найдём по формуле (9.7) скорость любой точки М тела. Вектор направлен перпендикулярно к РМ в сторону поворота тела.

3. Угловая скорость тела, как видно из формул (9.6), равна в каждый момент времени отношению скорости какой-нибудь точки сечения S к её расстоянию от мгновенного центра Р:

. (9.8)

Р ассмотрим некоторые частные случаи определения мгновенного центра скоростей:

1 . Если плоскопараллельное движение осуществляется путём качения без скольжения одного цилиндрического тела по поверхности другого, причём второе тело неподвижно, то точка касания Р (для сечения, изображённого на (рис. 9.9) имеет в данный момент времени скорость, равную нулю, и, следовательно, является мгновенным центром скоростей , так как точки касания обоих тел при отсутствии скольжения должны иметь одинаковые скорости (второе тело неподвижно).

Примером служит качение колеса по рельсу.

2. Если скорости точек А и В тела параллельны друг другу, при этом линия АВ не перпендикулярна к (рис. 9.10), то мгновенный центр скоростей лежит в бесконечности и скорости всех точек параллельны .

П ри этом из теоремы о проекциях скоростей следует, что , т. е. = ; аналогичный результат получается для всех других точек тела. Следовательно, в рассматриваемом случае скорости всех точек тела в данный момент времени равны друг другу и по модулю, и по направлению, т. е. тело имеет мгновенное поступательное распределение скоростей (такое состояние движения тела называют мгновенным поступательным). Угловая скорость ω тела в этот момент времени равна нулю.

3. Если скорости точек А и В тела параллельны друг другу и при этом линия АВ перпендикулярна к , то мгновенный центр скоростей Р определяется построениями, показанными на рис. 9.11. В этом случае необходимо знать направления и модули скоростей и .

4. Если известен вектор скорости какой-нибудь точки сечения S и угловая скорость ω, то положение мгновенного центра скоростей Р, лежащего на перпендикуляре к (см. рис. 9.8), можно найти из равенства (9.8), которое даёт .