3.2.2. Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил

Рекомендуется следующий порядок построения эпюр М и Q:

1. Составляется расчетная схема балки (в виде оси) с изображением действующих на неё нагрузок.

2. Отбрасываются опоры, а их действие на балку заменяется соответ­ствующими реакциями; указываются обозначения реакций и принятие их направления.

3. Составляются уравнения равновесия бачки, решением которых определяются значения опорных реакций.

4. Балка разбивается на участки, границами которых являются точки приложения внешних сосредоточенных сия (включая реакции) и моментов, ­а также точки начала и окончания действия или изменения ха­рактера распределенных нагрузок.

5. Составляются выражения изгибающих моментов М (М_х, M_y), попе­речных сил (Q_х, Q_y) для каждого участка балки. В сечениях балки рекомендуется указывать направление изгибающего момента и попереч­ной силы положительными с учетом правил знаков. В этом случае полу­ченные в результате расчетов знаки М и Q будут определять знак изгибающего момента и поперечной силы.

Н а расчетной схеме указываются начало и направление отсчета рас­стояний Z для каждого участка.

6. По полученным выражениям исчисляются ординаты эпюр для сечений балки в количестве, достаточном для изображения этих эпюр.

7. Определяются сечения в которых поперечные силы равны и в которых, следовательно, действуют экстремальные изгибающие моменты; вычис­ляются значения этих моментов.

8. По полученным значениям ординат строятся эпюры.

9. Производится проверка построении эпюр путем сопоставления их друг с другом: если на участке нет внешних нагрузок, то эпюры М и Q линейные (причем прямая эпюры Q - параллельна нулевой линии этой эпюры); если на участке действует равномерно распреде­ленная нагрузке, то эпюра М - нелинейная - квадратная парабола; в точке приложения сосредоточенной силы (в том числе реакции) на эпюре поперечных сил соответствует "скачок" на величину этой си­лы, а на эпюре изгибающих моментов - перелом линии; в точках при­ложения сосредоточенных моментов эпюра поперечных сил не меняется, а на эпюре изгибающих (их моментов наблюдается "сжатие" на величину этого моментa.

В ряде случаев отдельные этапы построения эпюр из приведениях выше можно не выполнять. Например, можно не изображать балку без эпюр, а обозначение и направление опорных реакций можно указывать на расчетной схеме балки; при расчете балок, заделанных одним кон­цом, нет необходимости определять опорные реакции.

Пример 3.1. Построить эпюры М_х и Q_y для балки, показанной на рис. 3.4,а.

Решение. Из условия равновесия определяем опорные реакции (рис. 3.4,б):

; = F

Проверяем: =

, 0=0.

Следовательно, опорные реакции определены правильно.

Paccматривая балка имеет два участка (рис. 3.4,б).

Пользуясь методом сечений, вычисляем изгибающие моменты и поперечные силы на этих участ­ках.

У часток I (0 ≤ Z ≤ α)

Согласно (3.1.)

М _х = ∙ Z = ∙ Z, Q_y = =

или, используя (3.3),

Q_y =

П ри Z = 0

М_х = 0,

Q_y =

П ри Z = α, М_х = ∙α= , Q_y =

У часток II (0 ≤ Z ≤ ℓ)

М _х = – F ( - α), Q_y = = -

или Q_y = - = -

П ри Z = α, М_х =

П ри Z = ℓ, М_х = ∙ ℓ - F ( - α) = ∙ ℓ - ∙ b = 0

По полученным значениям М_х строим эпюру изгибающих момен­тов (рис. 3.4,в), а по значениям Q_y - эпюру поперечных сил (рис. 3.4,г).

Проводя проверку эпюр в соответствии с п.9 рекомендаций их построений, убеждаемся в их правильности.

Пример 3.2. Построить эпюры М_х и Q_y для балки, показанной на рис. 3.5,е.

Решение. Благодаря симметрии системы опорные реакции F_A = F_B =

Балка содержит лишь один участок АВ.

И згибающий момент в сечении Z (рис. 3.5, б)

М _х = F_A ∙ Z – q ∙ Z

Поперечная сила Q_y =

При Z = 0, М_х = 0

Q_y = q

П ри Z = ; М_х = q 0

Эпюра изгибающих моментов (парабола) показана на рис. 3.5,в, а эпюра поперечных сил – на рис. 3.5,г.

Анализ эпюр подтверждает их правильность.

Пример 3.3. Построить эпюры М_х и Q_y для балки, показанной на рис. 3.6, а

Решение. Проводим сечение на расстоянии Z от точки В.

Условие равновесия сил, действующих на отсеченную правую часть (рис. 3.6,б) имеет вид

М _х =- FZ, Q_y = F или Q_y = - = F

Рис. 3.5

Рис. 3.6

П ри Z = 0, М_х = 0, Q_y = F

При Z = ℓ, М_х =- Fℓ, = F

По полученным значениям М_х и Q_y строим эпюру изгибающих мо­ментов (рис. 3.6,в) и эпюру поперечных сил (рис. 3.6,г). Делаем анализ построенных эпюр, убеждаемся в их правильности.

Пример 3.4. Построить эпюры М_х и Q_y для балки, показанной на рис. 3.7,б.

Р ешение. Проводим сечение на расстоянии Z от точки В.

Из определения изгибающего момента поперечной силы (3.2) находим

М_х =- q ∙Z , Q_y = qZ или используя зависимость (3.3),

Q _y = - ( ) = qZ

П ри Z = 0, М_х = 0, Q_y = 0

П ри Z = ℓ, М_х =- q , Q_y = qℓ

П ри Z = , М_х =- q , Q_y = q

По полученным значениям М_х и Q_y строим эпюру изгибающих моментов (рис. 3.7,в) и эпюру поперечных сил (рис. 3.7,г).

Рис. 3.7

Пример 3.5. Построить эпюры М_х и Q_y для балки, показан­ной на рис. 3.8,а, если F = 100 кН, М =100 кН ∙ м, q = 200 , α = 2 м, b = c = 1 м.

Решение. Заменяя действие эпюр их реакциями, используем рас­четную схему, представленную на рис. 3.8,б. Из условий равновесия определяем опорные реакции:

;

Проверяем + = 0

366 100 - 200∙2 +133 , 0 = 0

Рис. 3.8

Для построения эпюр М_х и Q_y пользуемся приведенными правилами.

У часток I (0 ≤ Z₁ ≤ С = 1 м).

И згибающий момент в сечении с абсциссой Z₁ М_х = - F_Z1

П оперечная сила в этом сечении Q_y =

П ри Z₁ = 0, М_х = 0, Q_y = - 100 кН

П ри Z₁ = 1 м, М_х = - 100 кН∙м, Q_y = - 100 кН

У часток II(0 ≤ Z₂ ≤ α = 2 м).

И згибающий момент М_х = (С + Z₂) + ∙ Z₂-q .

П оперечная сила Q_y = = - F +

П ри Z₂ = 0 М_х =- F∙ C = - 100∙1 = - 100 кН∙м

Q_y = - F + = - 100 + 366,7 = 266,7 кН

П ри Z₂ = 2 М_х =-100(1+2)+ 366,7∙2 - 200∙2 = 33,4 кН∙м

Q_y = - 100 + 366,7 - 200∙2= - 133,3кН

Д ля построения эпюры М_х на участке необходимо определить ординату эпюры хотя бы в одной промежуточной точке. Определим абс­циссу Z₂, соответствующую экстремальному значению изгибающего момента (поперечная сила в этом сечении равна нулю):

Q _y = = 0, - F + - q = 0

Откуда находим =

П ри Z₂ = = 1,33 м М_х =- 100(1+1,33) +366,7∙1,33 – 200 = 77,8 кН∙м

Участок III (0 ≤ Z₃ ≤ b = 1 м).

И згибающий момент и поперечная сила в сечении с абсциссой Z₃ соответственно равны М_х = ∙Z; Q_y = -

При Z₃ = 0, М_х = 0, Q_y = 133

Z₃ = 1 м, М_х =133 , Q_y = 133

По полученным значениям М_х и Q_y строим эпюру изгибаю­щих моментов (рис. 3.8,в) и эпюру поперечных сил (рис. 3.8,г). Ана­лиз эпюр М_х и Q_y подтверждает их правильность.