5.2. Кручение

Под кручением понимают такой вид деформации, когда в поперечных сечениях вала действует только крутящий момент, а остальные силовые факторы отсутствуют.

5.2.1. Крутящий момент

Крутящий момент в произвольном поперечном сечении численно равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов приложенных к брусу по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Крутящий момент считается положительным, если при взгляде в торец отсеченной части вала действующий на него момент представляется направленным по движению часовой стрелки.

5.2.2. Расчеты на прочность и жесткость

Условие прочности при кручении имеет вид:

τ_max = (5.8)

где - допускаемое напряжение при кручении,

W_p - полярный момент сопротивления сечения при кручении:

W_p = = 0,2 d² (5.9)

Угол закручивания вала при постоянном на длине ℓ крутящем моменте М_к для вала постоянного сечения

у = (5.10)

для полого вала

у = (5.11)

где J_p – полярный момент инерции (1.18),

α = , (5.12)

здесь d – внутренний диаметр вала,

D – наружный диаметр вала.

Если крутящий момент скачкообразно изменяется по длине вала или вал имеет ступенчатое изменение сечения, то взаимный угол поворота концевых сечений вала определяется алгебраическим суммированием углов закручивания по участкам, на которых М_к и J_р постоянны:

(5.13)

При расчете на жесткость должно выполняться условие

, (5.14)

где - допустимый угол закручивания вала на I м его длины.

Пример 5.3. Ступенчатый стальной брус (вал) круглого поперечного сечения жестко заделан одним концом и нагружен, как показано на рис. 5.3,а. Построить эпюры крутящих моментов, максимальных касательных напряжений и угол закручивания (поворотов) поперечных сечений.

Решение. Эпюру крутящих моментов строим, начиная от сво­бодного (левого) конца, что позволяет не определять реактивный момент в заделке. Проведя произвольное сечение I-I на участке АВ и составляя для оставленной части (рис. 5.3,б) уравнение равновесия сил

(F) = 0,

получаем

- М = - 1 кН∙м.

Согласно принятому правилу знаков, считаем момент отрицательным. Крутящий момент сохраняет постоянное значение во всех сечениях участка АВ и ВС. Для остальных участков находим крутя­щие моменты как алгебраические суммы внешних моментов, приложен­ных по одну сторону (в нашем случае - по левую) от сечения.

Отсеченные части отдельно не изображаем.

На участке СД = - М₁+М₂ = -1+2 = 1 кН∙м

На участке ДК =

На участке KL - М₁+М₂ – М₃ = - 1+ 2 – 4 = - 3 кН∙м

По найденным значениям крутящих моментов строим эпюру М_к (рис. 5.3,в).

Рис. 5.3

Для нахождения опасного сечения строим эпюру максимальных касательных напряжений, используя формулы (5.8) и (5.9).

На участке АВ

τ_max = = - 23,6 ∙ 10⁶ Па = - 23,6 МПа

На участке ВС

τ_max = = - 40,7 ∙ 10⁶ Па = - 40,7 МПа

На участке СД

τ_max = = 40,7 ∙ 10⁶ Па = 40,7 МПа

На участке ДК

τ_max = = 9,98 ∙ 10⁶ Па = 9,98 МПа

На участке KL

τ_max = = - 29,8 ∙ 10⁶ Па = - 29,8 МПа

Строим эпюру τ_max (рис. 5.3,г). При этом ординаты опоры откладываются в ту же сторону, что и соответствующие ординаты эпюры М_к. Знак касательного напряжения при расчете на прочность никакой роли не играет, и принятое направление ординат эпюры условно.

Опасными оказались поперечные сечения участков ВС и СД. Таким образом, опасными оказались не те сечения, в которых крутя­щий момент максимален.

Условие прочности τ_max ≤ выполняется, т.к.

τ_max = 40,7 МПа < = 60 МПа

Эпюру углов поворота строим, начиная от защемленного (правого) конца. Ордината этой эпюры в выбранном масштабе дают значения углов поворота соответствующих поперечных сечений бруса. В пределах каждого из участков бруса эпюра линейна, поэтому достаточно вычислить углы поворота только для граничных сечений участков; угол поворота сечения К, равный углу закручивания участка KL

- 3,73 ∙10^-3 рад

где принято для стали G = 8∙10⁴ МПа.

Угол поворота сечения D относительно К, равный углу зак­ручивания участка ДК:

1,24 ∙10^-3 рад

Угол поворота сечения С относительно Д, равный углу закру­чивания участка CД:

8,13 ∙10^-3 рад

Угол поворота сечения В относительно С, равный углу закру­чивания участка ВС:

- 8,13 ∙10^-3 рад

Угол поворота сечения А относительно В, равный углу закру­чивания участка АВ:

- 11,8 ∙10^-3 рад

Абсолютный угол поворота сечения Д (относительно заделки) равен алгебраической сумме углов закручивания участков KL и DK

= (- 3,73 + 1,24) ∙ 10^-3 = - 2,49∙10^-3 рад

Абсолютный угол поворота сечения С:

= (- 2,49 + 8,13) ∙ 10^-3 = 5,64∙10^-3 рад

Абсолютный угол поворота сечения В:

= (5,64 – 8,13) ∙ 10^-3 = - 2,49∙10^-3 рад

Абсолютный угол поворота сечения А:

= (- 2,49 – 11,8) ∙ 10^-3 = - 14,29 ∙10^-3 рад

Эпюра углов поворотов сечений показана на рис. 5.3, д.

Пример 5.4. Определить из расчетов на прочность и жесткость диаметр гладкого вала (рис. 5.4,а). Принять = 25 МПа, = 5,3 ∙10^-3 рад/м.

М₁ = 2 кН∙м

М₂ = 0,95 кН∙м

М₃ = 0,6 кН∙м

М₄ = 0,5 кН∙м

Рис. 5.4

Решение. Построив эпюру изгибающих моментов (рис. 5.4,б), находим расчетный крутящий момент

= M₁ – M₂ = 2 – 0,9 = 1,1 кН∙м

Определяем требуемый по­лярный момент сопротивления сечения вала из рас­чета на прочность (5.8):

W_p 4,4∙10^-5 м³.

Диаметр вала определяем из (5.9)

d = = 6∙10^-2 м = 60 мм

Требуемый полярный момент инерции сечения вала из расчета на жесткость (5.10)

J_p = 2,59∙10⁶ м⁴.

Диаметр вала из расчета на жесткость (1.I8)

d = = 7,16∙10^-2 м = 71,6 мм

Из двух полученных значений диаметров вала, принимаем большее. Округляя, получаем

d = 72 мм.

Пример 5.5. Два одинаковых вала 1 соединены муфтой 2 со штифта­ми 3 (рис. 5.5). Выяснить, что ограничивает передаваемый момент: прочность валов, муфты или штифтов. Принять для валов - 40 МПа, для муфты = 20 МПа, для штифтов - 100 МПа. При расчете валов и муфт ослабление их отверстиями для штифтов не учитывать.

Рис. 5.5

Решение. 1. Допускаемый момент из условия прочности валов

40∙ 10⁶ ∙0,2∙(0,04)³ = 512 Н∙м

2. Допускаемый момент из ус­ловия прочности муфты

=

3. Допускаемый момент из ус­ловия прочности штифтов.

Штифт работает на срез. Учитывая наличие двух плоскостей среза, получаем из (5.I) следующую формулу:

τ_с =

где F = .

Таким образом, находим

100∙10⁶ = 314

Сравнивая значения моментов, приходим к выводу, что наименее прочными элементами конструкции являются штифты. Для увеличения допускаемого момента можно поставить на каждой половине муфты два штифта, одновременно несколько уменьшив их диаметр. Толщи­ну муфты можно несколько уменьшить, так как она значительно проч­нее вала.