6. Практическое занятие 6

Сложное сопротивление. Совместное действие кручения и изгиба

Цепь - закрепление знаний о сложном сопротивлении, совмест­ном действии кручения и изгиба, гипотезах прочности и развития способности использовать эти знания и приобретение навыков самостоятельного проведения проектных и проверочных расчетов на прочность.

Сочетание кручения и изгиба (а иногда и растяжения или сжа­тия) встречается при расчете валов. Например, валы швейных ма­шин (главный, вертикальный, челночный) при передаче вращения с помощью конических колес испытывают все три вида указанных де­формаций. При передаче вращения с помощью зубчатого ремня осевые (продольные) силы отсутствуют.

Наиболее часто в расчетах на прочность валов используется четвертая гипотеза прочности, так как она лучше всего отвечает многочисленным опытам и дает экономическое решение (по сравнению с третьей гипотезой прочности).

6.1. Совместное действие кручения и изгиба

Расчет вала при совместном действии кручения и изгиба ве­дется как при прямом изгибе, но в расчетной формуле (4.12) роль изгибающего момента играет эквивалентный момент, величина которого по 1V гипотезе прочности определяется по формуле:

М_экв = =

где = +

Из (4.12) с учетом (6.1) определяется диаметр вала

d (6.3)

6.2. Совместное действие кручения, изгиба и растяжения (сжатия)

Если кроме изгиба и кручения вал испытывает растяжение (сжа­тие), то вначале по формулам (6.1) и (6.3) определяют диаметр ва­ла, округляют его до ближайшего большего стандартного значения, затем проверяют условие прочности по формуле:

G_экв = (6.4)

где G =

τ =

В формулах (6.5) и (6.6):

N - продольная сила;

A - площадь поперечного сечения вала, исходя из принятого его диаметра.

W_x = , где d - принятый диаметр вата.

Если условие (6.4) не выполняется, диаметр зала увеличивают, затем опять проверяют.

Пример 6.1. Определить диаметр d₂ ведомого вала зубчатой передачи (рис. 6. 1,а), если известно, что при вращающем моменте на ведомом валу М₂ = 850 Н∙м сила в зацеплении F₂ = 5600 H, α = 100 мм. Допускаемое напряжение для материала вала = 50 МПа.

Решение. Наибольший изгибающий момент в сечении (pис. 6.1,в)

М_у = F₂ = 5600 = 280 Н∙м

Эквивалентный момент находим по формуле (6.1)

М_экв = = 787,6 Н∙м

Используя формулу (6.3), находим диаметр вала в наиболее опасном сечении

d = 0,0543 м = 54,3 мм

Округляя до ближайшего большего стандартного значения, принимаем d = 55 мм.

Пример 6.2. Определить диаметр главного вала швейной машины с зубчатой ременной передачей, изготовленного из стали 12 A с допускаемым напряжением 150 МПа.

Рис. 6.1

Все силы, моменты сил и линейные размеры показаны на рис. 6.2,а.

Решение. 1. Строим эпюру изги­бающих моментов (рис. 6.2,б) от вертикальных сил. Находим = 100∙0,05 = 5 Н∙м

2. Строим эпюру изгибающих мо­ментов от горизонтальных сил (рис. 6.2,в). Находим

3. Строим эпюру крутящих мо­ментов (рис. 6.2,г)

6

3. Определяем эквивалентный момент в опасном сечении С

М_экв = = = 8,8

По формуле (6.3) находим диаметр вала

d = = 8,44 ∙10^-3 м = 8,44 мм

Округляем до 10 мм. d = 10 мм.

Рис. 6.2

Пример 6.3. Проверить (по третьей и четвертой гипотезам прочности) прочность сплошно­го бруса круглого сечения (рис. 6.3).

Брус защемлен левым концом, а к правому концу приложены сила F = 500 кН ∙ м и скручиваю­щий момент М = 90 кН∙м. Диа­метр бруса d = 20 см, а допускаемое напряжение = 120 МПа.

Решение. Во всех поперечных сечениях бруса возникают одина­ковые внутренние усилия:

N = f = 500 кН, и М_к = М = 90 кH∙м.

Определяем нормальные и касательные напряжения в опасных точках бруса (в данном случае опасными являются все точки, лежа­щие на контуре любого поперечного сечения рассматриваемого бруса):

G = = 15,9 МПа

τ = = 57,3 МПа

По третьей гипотезе прочности

G_экв = = 115,7 МПа < = 120 МПа

По четвертой гипотезе прочности

G_экв = = 100,5 МПа < = 120 МПа

Таким образом, получается, что, если исходить из третьей ги­потезы прочности, брус недогружен на 3,6 %, а если по четвертой, - на 16,2 %.

Пример 6.4. Вал круглого оплошного сечения (рис. 6.4,a) де­лает п = 667 и передает мощность Р = 1 кВт.

Определить необходимый диаметр вала по четвертой гипотезе прочности при = 80 МПа. Известно: ℓ₁ = 0,1 м, ℓ₂ = 0,2 м, ℓ₃ = 0,05 м и D₁ = 0,3 м, D₂ = 0,15 м, F₁ = 2 F₂, F'₁ = 2 F'₂, α₁ = 60⁰, α₂ = 45⁰.

Решение. Определим моменты передаваемые каждым из шкивов на вал:

М = = 14,3 Н∙м

Эпюра крутящих моментов, возникающих в сечениях вала, пока­зана на рис. 6.4,б.

Определяем усилия F₁ , F₂, F'₁ и F'₂, действующие на шкивы.

Шкив 1: М = (F₁ - F₂) (2F₂ - F₂) = F₂ ;

F₂ = = 95,3 Н;

F₁ = 2F₂ = 2∙95,3 = 190,6 Н.

Шкив 2: М = (F'₁ - F'₂)

= = 190,6 Н;

= 2F'₂ = 2∙190,6 = 381,2 Н.

Определяем вертикальные и горизонтальные составляющие наг­рузки, действующие со стороны шкивов на вал:

F_y = (F₁ + F₂) sin α₁ = (190,6 + 95,3) sin 60⁰ = 247,3 Н;

F_х = (F₁ + F₂) соs α₁ = (190,6 + 95,3) соs 60⁰ = 142,8 Н;

F'_y = (F'₁ + F'₂) sin α₂ = (381,2 + 190,6) sin 45⁰ = 404,3 Н;

F'_х = (F'₁ + F'₂) соs α₂ = (381,2 + 190,6) соs 45⁰ = 404,3 Н;

Силы, действующие в вертикальной плоскости, показаны из рис. 6.4,в; в горизонтальной плоскости - на рис. 6.4,г.

Определив реакции в опорах в вертикальной и горизонтальной плоскостях, строим эпюры (рис. 6.4,д и е) изгибающих моментов и М_х (см. практическое занятие 3).

Затем, геометрически слагая изгибающие моменты М_х и М_y, находим

М_u =

и строим эпюру М_u (рис. 6.4,ж).

Опасным сечением вала является опорное сечение В, так как в нем одновременно действуют наибольший изгибающий момент М_u = 29,3 Н∙м и крутящий момент М_к = 14,3 Н∙м.

Определяем эквивaлeнтный момент по формуле (6.1)

М_экв = = 31,8 Н∙м

по формуле (6.3) находим диаметр вала

d = 0,0159 м = 15,9 мм

Принимаем диаметр вала равным d = 16 мм.

Пример 6.5. Определить диаметр главного вала швейной машины (рис. 6.5,а), изготовленного из стали А 12 с = 200 МПа.

Виды и значения нагрузок, а также все размеры указаны на рис. 6.5,а.

Решение. Определяем реакции в вертикальной и горизонтальной плоскостях (рис. 6.5,б,в) (см. практическое занятие 3). Строим эпюры М_х и M_у изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях (рис. 6.5,г,д) (см. практическое занятие 3). Строим суммарную эпюру М_u изгибающего момента М_u = (рис. 6.5,е).

Строим эпюры продольных сил (рис. 6,5,ж) (см. практическое занятие 2) и эпюру крутящего момента (рис. 6.5,з) (см. практичес­кое занятие 5).

Из эпюр видно, что опасным сечением вала является опорное сечение В, так как в нем одновременно наибольший изгибающий мо­мент М_u = 30 Н∙м наибольший крутящий момент М_к = 10 Н∙м и продоль­ная сила N = 50 H.

Исходя из совместного действия изгибающего и крутящего мо­ментов по четвертой гипотезе прочности, находим по формуле (6.1) эквивалентный момент

М_экв = = 30,9 Н∙м

Рис. 6.4

по формуле (6.3)

d = 0,0116 м = 11,6 мм

Принимаем диаметр вала d = 12 мм.

Так как в сечениях вала имеет место продольная сила, проверим вал на прочность с учетом продольной силы по формуле (6.4), используя (6.5) и (6.6)

G = G_p +G_u = = 176,4 МПа;

τ = = 29,5 МПа;

G_экв =

Принятый диаметр вала равный 20 мм удовлетворяет условно прочности с учетом продольной силы.

Рис. 6.5