4.1. Чистый изгиб. Нормальные напряжения при изгибе

При чистом изгибе в поперечных сечениях бачки возникают толь­ко нормальные напряжения

G = (4.1)

где М_х - изгибающий момент в исследуемом сечении;

у - расстояние от нейтральной оси до данной точки (вдоль оси у);

J_x - момент инерции поперечного сечения относительно нейтраль­ной оси X (проходит через центр тяжести и перпендикулярна к сило­вой плоскости).

Для сечения несимметричного относительно нейтральной оси наибольшие растягивающие и сжимающие (по модулю) напряжения в крайних (наиболее удаленных от нейтральной оси) точках сечения определяют­ся по формулам:

(4.2)

(4.3)

где - осевой момент сопротивления сечения растяжению; (4.4)

- осевой момент сопротивления сечения сжатию. (4.5)

Если нейтральная ось является осью симметрии сечения, то

и тогда

= (4.6)

где h – высота сечения.

Для круглого сечения

(4.7)

Для прямоугольного сечения

(4.8)

4.2. Поперечный изгиб. Касательные напряжения при изгибе

Касательные напряжения, возникающие в точках поперечного се­чения, удаленных от нейтральной оси на расстояние у, а также в слое, параллельном нейтральному с удалением от него на расстоя­ние у, определяются по формуле Д.М. Журавского

(4.9)

где Q_y - поперечная сила в сечении;

S_х^от - статический момент относительно нейтральной оси части сечения, расположенного выше (или ниже) уровня рассматриваемых волокон;

J_x - момент инерции сечения относительно нейтральной оси;

b(y) - ширина сечения на уровне рассматриваемых волокон.

Распределение касательных напряжений по высоте сечения за­висит от его формы.

Рис. 4.1

J_max = (4.10)

Круглое сечение (рис. 4.2)

Рис. 4.2

4.3. Расчеты на прочность

Условие прочности по нормальным напряжениям для балок, мате­риал которых одинаково сопротивляется растяжению и сжатию (плас­тичный материал [G_p] = [G_c] = [G]), имеют вид

(4.12)

где - максимальный изгибающий момент;

[G] - допускаемое нормальное напряжение, величина которого берется такой же, как и при растяжении (сжатии).

Форма (4.12) используется для проверочных расчетов.

Аля подбора сечения балки (проемного расчете) из условия прочности (4.12) определяют необходимое значение осевого момен­та сопротивления

W_x . (4.13)

По найденному моменту сопротивления W_x, выбрав форму попе­речного сечения, находят его размеры.

В случав прямоугольного сечения предварительно задаются от- ношением т= (обычно m = 1..3) и, используя формулу (4.8), находят

h = (4.14)

Для круглого сплошного сечения диаметр балки находят из формулы (4.7)

d = (4.15)

Если балка выполнена из прокатного профиля, необходимый но­мер проката подбирается по таблицам сортамента прокатных сталей (таблицы приведены в справочной и учебной литературе) в зависимос­ти от требуемого момента сопротивления.

Для балок из хрупких материалов, различно сопротивляющихся растяжению и сжатию, расчетные Формулы на изгиб для подбора сече­ния имеют вид:

(4.16)

(4.17)

где М_1x и М_2x - наибольшие по абсолютному значению изгибающие мо­менты в опасных сечениях соответственно для растянутых и сжатых волокон;

[G_р] и [G_с] - допускаемые напряжения для материала балки соответственно на растяжение и сжатие;

у₁ и у₂ - расстояния до волокон, наиболее удаленных от нейтральной оси, соответственно растянутых и сжатых.

В балках сплошного сечения обычно величины касательных напря­жений пo сравнению с нормальными невелики и поэтому, большей частью, производить проверку прочности балки по касательным напря­жениям нет необходимости.

В коротких балках, сильно нагруженных вблизи опор, и в бал­ках тонкостенного профиля касательные напряжения могут иметь срав­нительно большую величину, и в этом случае проверку прочности по касательным напряжениям производят по формуле Журавского

(4.18)

и формулам (4.10) и (4.11).

Пример 4.1. Для балки, показанной на рис. 4.3,а, определить необходимые размеры круглого, квадратного, прямоугольного и дву­таврового прокатного сечений; отношения весов балок этих сечений; нормальные напряжения в указанной точке А сечения под силой для двутаврового сечения. Допускаемое напряжение [G] = 160 МПа.

Рис. 4.3

Решение. Так как балка симметрична относительно среднего се­чения, те максимальный изгибающий момент будет в этом сечении. От распределенной нагрузки эпюра М_х - параболическая

от сосредоточенных сил

F ∙ α = 9,8 ∙1 = 9,8

Изгибающий момент в среднем сечении

+ = 21,6 + 9,8 = 31,4

По формуле (4.13) находим необходимый момент сопротивления сечения

= 0,196 ∙ 10^-3 м³ = 196 см³.

Определяем размеры сечений:

1. Для круглого сечения (4.15)

d = = 126 cм

Площадь поперечного сечения балки

=124,7 см²

2. Для квадратного сечения (4.14) (a = b = h)

= 10,5 см

Площадь поперечного сечения балки

А₂ = ² = 10,5² = 111,4 см².

3. Для прямоугольного сечения (4.14) (h= 2b)

h = = 13,3 см

Площадь поперечного сечения балки

А₃ = bh = = 88,4 см²

4. По сортаменту двутавровых балок для № 20 W_x = 184 см³, для № 20а W_x = 203 см³.

Проверим балку № 20 по напряжениям:

(перенапряжение)

Так как перенапряжение более 5 %, то двутавровую балку № 20 брать нельзя.

Проверяем балку № 20а:

= = - 3,44 %

(недонапряжение)

Следовательно, принимаем балку № 20а, для которой (из таблицы) А₄ = 28,9 см² момент инерции сечения, J_x = 2030 cm⁴ , высо­та h = 20 см.

Поскольку вес бачки пропорционален площади её поперечного сечения, то отношение весов балок равно отношению площадей их се­чений. Принимая площадь круглого сечения за условную единицу имеем:

А₁:А₂:А₃:А₄ = : : = 1 : = 1 : 0,89 : 0,71 : 0,23.

Таким образом, например, балки двутаврового сечения даже при избыточных размерах площади (допущено недонапряжение (3,4 %) в 1/0,23 = 4,3 раза легче бачки круглого поперечного сечения.

Определяем изгибающий момент в сечении балки под силой F:

кНм.

В точке А этого сечения, для которой у = см, нормальное напряжение будет сжимающим (балка выгибается вниз) и определится по формуле:

- 64∙10⁶ Па = - 64 мПа.

Пример 4.2. Подобрать размеры b и h прямоугольного сечения балки при отношении h/b = 2 и допускаемом напряжении (для дерева)

[G] = 10 мПа. в поперечном сечении действуют изгибающий момент М_х = 30 кН∙м и поперечная сила Q_y = 30 кН.

Проверить прочность балки по наибольшим касательным напряже­ниям, возникающим в её поперечном сечении, если [ε] = l,2 МПа.

Решение. По формуле (4.13) определяем требуемый момент сопротивления сечения:

W_x = = 3∙10^-3 м³ = 3000 см³

Пo формуле (4.15) при ro = = 2 находим

h = = 33 см

b =

Наибольшие касательные напряжения, действующие в этом попе- речном сечении, определим по формуле (4.10) для прямоугольного сечения

= 0,83 мПа

Так как = 0,83 мПа < [τ] = 12 мПа, то принятые размеры бал­ки удовлетворяют и по касательным напряжениям.