2. Практическое занятие 2

Определение внутренних усилий, напряжений, перемещений и деформаций при растяжении (сжатии). Расчет на прочность и жесткость

Цель - закрепление знаний о деформации растяжения (сжатия), развитие способности и приобретение навыков самостоятельно исполь­зовать эти знания при решении задач, связанных с определением продольных сил и построением их эпюр, напряжений, деформаций, переме­щений, а также с расчетом на прочность и жесткость.

2.1. Продольные силы

Продольная сила N в данном случае равна сумме проекций всех сил, расположенных по одну сторону от этого сечения, на ось стерж­ня (на нормаль к её сечению).

Продольная сила, вызывающая напряжение, направленная от сече­ния, считается положительной, а направленная к сечению - (сжатие) отрицательной.

В том случае, когда направление продольной силы заранее неиз­вестно, ее направляют от сечения. Если из условия равновесия продольная сила получается со знаком плюс, стержень испытывает растяже­ние, со знаком минус - сжатие.

Наглядное представление о распределении продольных сил по дли не стержня дает эпюра N - график, каждая ордината которого в масш­табе равна значению продольной силы в данном сечении.

П ример 2.1. Построить эпюру N для стержня круглого сечения, показанного на рис. 2.1,a.

Решение. Разбиваем стержень на участки, определяемые точками А, В, С и D приложения сил. Пользуясь методом сечений, определим N на участках.

Для сечения I-I (рис. 2.1,б) N₁ = F₁ = 10 кН (растяжение).

Для сечения II-II (рис. 2.1,в) N₂ = F₁+ F₂= 10 + 5= 15 кН (растяжение).

Для сечения III-III (рис. 2.1,г) N₃ = F₁+ F₂ – F₃ = 10 + 5 – 20 = 5 кН (сжатие).

Для сечения 1V-1V (рис. 2.1,д)

N₃ = F₁+ F₂ – F₃ + F₄ = 10 + 5 – 20 + 25 = 20 кН (растяжение).

По полученным данным строим эпюру N продольных сил (рис. 2.1,е).

2.2. Напряжения, перемещения и деформации

При растяжении и сжатии считают, что нормальные напряжения распределяются равномерно по поперечному сечению стержня, т.е. при­нимается, что G = const. Поэтому

N = GA, G = (2.1)

где А - площадь поперечного сечения стержня, м².

Изменение длины стержня при растяжении (сжатии) в пределах закона Гука

G = (2.2)

определяют по формуле

(2.3)

где Е - модуль линейной упругости. Па; МПа. (Для сталей в сред­нем Е = 2,1∙ 10⁵ МПа).

Δℓ = ℓ-ℓ₀ - абсолютное удлинение стержня, м.

ε - относительное продольное удлинение (деформация)

(2.4)

ЕА - жесткость стержня при растяжении (сжатии).

Для стержня со ступенчатым изменением площади поперечного сече­ния и продольной силы удлинения вычисляются на участках с постоянны­ми А и N и результаты алгебраически суммируются:

(2.5)

где i - номер участка;

n - число участков.

Относительная поперечная деформация вдоль оси, перпендикулярной оси Z

ε^/ = - v∙ε ; ε = (2.6)

где v - коэффициент Пуассона, коэффициент поперечной деформации;

Δ а - абсолютное изменение поперечного размера сечения;

а - поперечный размер сечения.

Пример 2.2. Используя данные и результаты примера 2.1, опре­делить:

I. Нормальные напряжения в сечениях, построить эпюру нор­мальных напряжений;

2 . Перемещения сечений, построить эпюру перемещений, если ℓ₁ = ℓ₂ = 0,4 м, ℓ₃ = ℓ₄ = 0,5 м площади сечений А₁ = 2 см² , А₂ = 4 см², модуль линейкой упругости

Е = 2,0∙10⁵ МПа, V = 0,32

Решение. (Рис. 2.2) В поперечных сечениях стержня возникают нормальные напряжения, которые определяются по формуле (2.1); на 1-м участке (АБ) G₁ = МПа на 2-м участке (ВС) G₂ = МПа

на 3-м участке (CP) G₃ = МПа

на 4-м участке (DК) G₄ = МПа

По полученным значениям строим эпюру нормальных напряжений (рис. 2 2.6).

Поперечные сечения стержня под действием нагрузки смещаются по вертикали вниз. Смещение Δℓ₂ сечения, находящегося на расстоянии Z от верхнего конца стержня, равно деформации участка длиной Z :

a) для сечений на участке KD (при 0 ≤ Z ≤ 0,5 м)

перемещение сечения D (Z = 0,5 м)

Δℓ_D = 25∙10^-5∙0,5 = 12,5∙10^-5 м = 0,125 мм

б) для сечений на участке СD (при 0,5 м ≤ Z ≤ 1 м)

перемещение сечения С (Z = 1 м)

Δℓ_с = (15,6-6,2∙1) 10^-5 = 9,35∙10^-5 м = 0,093 мм

в) для сечений на участке ВС (1 м ≤ Z ≤ 1,4 м)

перемещение сечения В (Z = 1,4 м)

Δℓ_В = (1,875 ∙1,4-1,78) 10^-3 = 0,845∙10^-3 м = 0,845 мм

г) для сечений на участке АВ (1,4 м ≤ Z ≤ 1,8 м)

перемещение сечения А (Z = 1,8 м)

Δℓ_А = (1,25∙1,8-0,9) ∙10^-3 = 1,35∙10^-3 м = 1,35 мм

Полное удлинение стержня

Δℓ = Δℓ_А= 1,35 мм

Во все полученные выражения Δℓ координата Z входит в первой степени, т.е. зависимость между Δℓ и Z линейная. Это позволяет по подсчитанным перемещениям сечений А , В , С , D и по известному перемещению Δℓ_к = 0 сечения К построить эпюру перемещений Δℓ (рис. 2.2,в).

Пример 2.4. Стальной стержень квадратного сечения со сто­ронами а = 2см растянут силой F= 40 кН. Определить размеры попереч­ного сечения стержня после деформации, если Е = 2 ∙ 105 МПа и коэффициент Пуассона V = 0,25.

Решение. Относительная продольная деформация стержня определяется по формуле (2.2)

Учитывая, что N = F = 40 кН, А = а², находим

Относительная поперечная Деформация стержня.

ε^/ = vε = - 0,25 ∙ 5 ∙ 10^-4 = - 1,25 ∙10^-4

Знак минус указывает на то, что размеры поперечных сечений стержня уменьшились. Величина этого уменьшения составляет

Δ Q = Q = 2 ∙ 1,25 ∙ 10^-4 = 2,5 ∙ 10^-4 см = 2,5 ∙ 10^-3 мм