2.3. Потенциальная энергия деформации

При статическом нагружении стержня постоянного сечения А, длиной ℓ, силой F с модулем линейной упругости E по­тенциальная энергия деформации

U = (2.7)

где N - продольная сила, Н;

V= A ∙ ℓ - объем стержня.

При одновременном действии нескольких сил на стержень со ступенчатым изменением поперечных размеров при напряжениях, не превышающих предела пропорциональности, потенциальная энергия деформации

(2.8)

где n - число участков, отличающихся значением напряжений G;

G_i - нормальное напряжение в поперечных сечениях i-го участка;

N_i - продольная сила в поперечных сечениях на i-том участке;

V_i , A_i , ℓ_i - соответственно объем, площадь сечения и длина i-го участка.

Пример 2.5. Определить потенциальную энергию деформации стержня по данным и полученным результатам примера 2.2.

Решение. Для вычисления потенциальной энергии деформации стержня воспользуемся формулой (2.8)

Так как в нашем случае l₁ = l₂ и l₃ = l₄, то

2.4. Пластичность материала

Пластичность материала характеризуется остаточным относительным удлинением

δ = (2.9)

где ℓ_раз - длина образца после paзрыва, измеренная после сое­динения частей разорванного образца;

и остаточным относительным сужением

Ψ = (2.10)

где A_ш - площадь поперечного сечения разорванного образца в наиболее тонком месте шейки.

Пример 2.5. Круглый стальной стержень длиной 200 мм и диа­метром 20 мм разорван на испытательной машине. После разрыва общая длина частей стержня составляет 252 мм, а наименьший диа­метр шейки равен 14,5 мм. Определить остаточное относительное удлинение образца δ и остаточное относительное сужение шейки Ψ.

Решение. Остаточное относительное удлинение образца определяем по формуле (2.9):

δ =

Остаточное относительное сужение находим по формуле (2.10):

Ψ = 47,4 %

2.5. Расчет на прочность

Условие прочности при растяжении (сжатии)

G = (2.11)

– допускаемое нормальное напряжение;

G_l – предельное нормальное напряжение (для пластичных материалов G_l = G_Т, для хрупких - G_l = G_в)

n - коэффициент запаса прочности.

При проверочном расчете определяют фактическое напряжение и сравнивают его с допускаемым

При проектном расчете определяют размер поперечного сечения стержня

А (2.12)

Для определения допускаемой нагрузки находят допус­каемую продольную силу, а затем по ней находят

Например 2.6. На рис.2.3,а показан металлический стержень, а на рис.2.3,б - эпюра N продольных сил, возникающих а его поперечных сечениях. Произвести расчет стержня на прочность в указанных ниже случаях.

I. Стержень изготовлен из пластичной стали:

= 160 МПа, = 30 кН, А₁ = 10 см², А₂ = 4 см²

Проверить прочность стержня.

Рис. 2.3

Решение. Поперечные сечения участка III стержня не могут быть опасными, так как в них предельная сила меньше (по абсолютной величине), чем в сечениях участка II, а площади поперечных сечений участков II и III одинаковы. Опасными могут быть сечения участка I или II. Определим нормальные напряжения в них:

G₁ =

G_II =

^{Стержень является прочным, так как угловые прочности} (2.16) ^{выполняются}

G₁ = 120 мПа < = 160 мПа

G_II = = 150 мПа <

2. Стержень изготовлен из чугуна:

80 мПа, 150 мПа, F =30 кН, А₁ = 10 см², А₂ = 4 см²

Проверить прочность стержня.

Решение. Определим нормальные ускорения в поперечных сечениях участков I, II и III стержня:

G₁ =

G_II =

G_III =

Снижающие напряжения G_II = - удовлетворяют условию прочности

G_с = = 150 мПа ≤

Наибольшие растягивающие напряжения G₁ =120 мПа не удовлетворяют условию прочности (2.11):

G_р = G₁∙ 120 мПа > = 80 мПа

Следовательно, прочность стержня недостаточна.

3. Стержень изготовлен из пластичной стали:

160 мПа, F = 30 кН. Подобрать площадь А₁ поперечных сечений для участка 1 и А₂ для участков II и III.

Решение. По формуле (2.11)

А₁

А₂

Принимаем А₁ = 75 , А₂ = 38

4. Стержень изготовлен из пластичной стали:

160 мПа, А₁ = 10 см², А₂ = 4 см²

Определить допускаемое значение нагрузки .

Решение. Определяем допускаемые (по условию прочности) значения продольных сил:

= = 160 ∙10⁶∙10∙10^-4=16∙10⁴ Н = 160 кН

Из эпюры N (рис. 2.3, б) следует, что

N₁ = 4F, N₃ = F

Тогда из условия прочности для участка I стержень

N₁ = 4F ≤ = 160 кН,

откуда F ≤ 40 кН;

Для участка II: ≤ 64 кН,

откуда F ≤ 32 кН;

Для участка III: N₃ = F ≤ = 64 кН,

откуда F ≤ 64 кН.

Допускаемое значение нагрузки , при котором условие прочности (2.11) выполняется для всех участков стержня, равно меньшему из найденных значений, т.е. = 32 кН.

Пример 2.7. В швейном производстве применяется пресс ПЛИм с пневматическим приводом. Поршень силового цилиндра (рис. 2.4) прессе имеет диаметр D = 12 см, в шток поршня - диамотр d = 1,6 см.

Рис. 2.4.

Давление сжатого воздуха q = 6 ∙ 10⁵ Па. Найти наибольшее напряжение в штоке. Решение. Напряжение в штоке

G =

где А_ш - площадь поперечного сечения штока,

А_ш = 2,01 см²

/\/ - продольная сипя в сечении штока, равная силе давления на поршень.

N = Fn = q∙An = q∙

Напряжение в штоке

G = ,76 Па = 33,76 мПа