- •221 Біомеханіка, біореологія та гемодинаміка розділ 3. Біомеханіка, біореологія та гемодинаміка
- •Механічні властивості біологічних тканин
- •3.1.1. Пружні властивості тіл. Деформації
- •Деформація поздовжнього розтягування чи стиснення
- •Деформація всебічного розтягу або стиснення (об’ємна деформація)
- •Деформація зсуву
- •Деформація кручення
- •3.1.2. Деформація біологічних тканин
- •Кісткова тканина
- •Колагенові волокна
- •Еластинові волокна
- •Діаграма розтягу судин
- •Плин в’язких рідин у біологічних системах
- •3.2.1. В’язкість рідини
- •3.2.2. В’язкість крові
- •3.2.3. В’язко-пружні властивості біологічних тканин
- •3.2.4. Основні рівняння руху рідини
- •Плин ньютонівської рідини по горизонтальній трубці
- •3.2.5. Критерії механічної подібності рідин, що рухаються
- •3.2.6. Пульсові хвилі
- •Механічні коливання
- •3.1.1. Гармонічні коливання та їх основні параметри
- •Швидкість та прискорення при гармонічних коливаннях
- •Період і частота гармонічних коливань
- •3.3.2. Затухаючі коливання і аперіодичний рух
- •3.3.3. Вимушені коливання
- •3.3.4. Явище резонансу і автоколивання
- •3.3.5. Додавання гармонічних коливань
- •1. Додавання гармонічних коливань, спрямованих вздовж однієї прямої
- •2. Додавання взаємноперпендикулярних гармонічних коливань
- •Механічні хвилі
- •3.4.1. Хвильове рівняння. Поздовжні і поперечні хвилі
- •3.4.2. Потік енергії хвилі. Вектор Умова
- •Акустика. Елементи фізики слуху. Основи аудіометрії
- •3.5.1. Природа звуку, його основні характеристики (об’єктивні і суб’єктивні)
- •3.5.2. Закон Вебера–Фехнера
- •3.5.3. Ультразвук
- •3.5.4. Інфразвук
- •Практикум з біореології
- •3.6.1. Лабораторна робота №1 “Дослідження пружних властивостей біологічних тканин”
- •Контрольні питання для підготовки до лабораторної роботи
- •Додаткова література
- •Додаткові теоретичні відомості
- •Порядок виконання лабораторної роботи
- •Завдання для самостійної роботи та самоконтролю
- •3.6.2. Лабораторна робота №2 “Визначення коефіцієнта в’язкості”
- •Контрольні питання для підготовки до лабораторної роботи
- •Додаткова література
- •Додаткові теоретичні відомості
- •Порядок виконання лабораторної роботи
- •Завдання для самостійної роботи та самоконтролю
- •3.6.3. Лабораторна робота №3 “Визначення порога чутності аудіометричним методом”
- •Контрольні питання до лабораторної роботи
- •Додаткова література
- •Додаткові теоретичні відомості
- •Порядок виконання лабораторної роботи
- •Завдання для самостійної роботи та самоконтролю
Плин ньютонівської рідини по горизонтальній трубці
Формула Пуазейля. Плин в’язких рідин по циліндричних трубках має для медицини особливий інтерес. Судинна система може бути представлена сіткою циліндричних трубок різного діаметра, лінійна й об’ємна швидкості плину рідини по яких залежить не лише від властивостей рідини, а й від геометричних розмірів судин. Визначимо лінійну й об’ємну швидкості плину для стаціонарного потоку в’язкої рідини крізь судину радіусом R, довжиною L, з перепадом тиску на його кінцях P1 – P2 (мал. 3.16).
Запишемо рівняння руху (3.24) для стаціонарного плину ньютонівської рідини, коли зовнішні сили дорівнюють нулеві, і сила тяжіння не впливає на плин рідини:
–P + fтр = 0 або P = fтр. (3.25)
Припустимо, що градієнт тиску вздовж трубки струму є постійна величина: P = (Р2 – Р1)/L. Об’ємна сила тертя fтр дорівнює (3.8):
,
де S1 = 2rdx – площа бічної поверхні циліндра, S2 = r2 – площа перерізу циліндра радіуса r. Підставивши ці вирази у рівняння (3.25), отримаємо диференційне рівняння, що визначає зміну швидкості рідини вздовж радіуса трубки:
dυ = – rdr.
Проінтегруємо це рівняння
υ = – r2 + С,
де сталу інтегрування С знаходимо з умови υ = 0 на границі судини, тобто при r = R. Це дає С = R2. В результаті отримуємо формулу Пуазейля, яка визначає профіль швидкості ньютонівської рідини в циліндричній трубці
υ = (R2 – r2). (3.26)
З цієї формули випливає, що профіль швидкостей ньютонівської рідини в циліндричній трубці описується параболічним законом (мал. 3.17а).
Формула Пуазейля дозволяє визначити об’ємну швидкість плину ньютонівської рідини. Виділимо у перерізі трубки шар рідини товщиною dr і площею dS = 2rdr (мал. 3.17б). Об’єм рідини, що протікає крізь цю площу за одиницю часу, дорівнює
dQ = υ(r)dS = υ(r)2rdr.
Мал. 3.17. Характеристики плину ньютонівської рідини по циліндричній трубці: а) профіль швидкостей; б) переріз трубки струму.
Підставивши в цю формулу вираз (3.26) для швидкості і інтегруючи отримане рівняння, дістанемо формулу, що дозволяє визначити об’ємну швидкість рідини:
(3.27)
Помноживши об’ємну швидкість рідини на час плину, отримаємо формулу для визначення об’єму рідини V, що протікає через переріз судини за час t:
(3.28)
З формул (3.27) та (3.28), які звуться формулами Гагена–Пуазейля, випливає, що кількість рідини, яка протікає крізь судину, найбільш суттєво залежить від його радіуса і зменшується із зростанням в’язкості рідини.
Формула (3.27), що зв’язує між собою об’ємну швидкість рідини і різницю тисків на кінцях судини, має вигляд, аналогічний закону Ома:
Q = (P1 – P2)/W, (3.29)
тому величину W = 8L/(R4) називають гідравлічним опором.
Г
Мал. 3.18. Діаграми “витрата–тиск” для ньютонівської (1) та неньютонівської (2) рідин.