3.2.4. Основні рівняння руху рідини

Р ух рідких середовищ підпорядковується тим самим законам механіки, що і рух твердих тіл та газів. У суціль­ному середовищі мож­на виділити елементарний об’єм ріди­ни dV (чи елемент маси ,  – густина середо­вища), розглянути сили, що діють на нього і записати рів­нян­ня статики (рівноваги) чи динаміки. При русі у просторі кож­ний такий елементарний об’єм рухається вздовж деякої траєкторії – лінії струму (мал. 3.13а,б). Дотична до будь-якої точки лінії струму збігається з напрямом вектора швидкості частинки у цій точці. Виділимо у просторі замкнений кон­тур S. Всі лінії струму, що проходять крізь цей контур, утво­рю­ють трубку струму. Таким чином, трубка струму являє собою частину потоку рідини, обмежену лініями струму (мал. 3.13в).

a)

б)

в)

Мал. 3.13. Лінії струму при стаціонарному (а) і турбулентному плині (б), трубка струму (в).

Описуючи потік рідини, часто використовують терміни – поле швидкостей і профіль швидкостей, що являють собою відповідно значення швидкостей у всіх точках прос­тору і точках перерізу трубки струму у фіксований момент часу. Якщо лінії струму і поле швидкостей не змінюються з часом, то рух рідини зветься стаціонар­ним. При стаціонар­ному плині траєкторії частинок залишають­ся незмінними. Швидкість частинки може змінюватися при її русі вздовж лінії струму, але у кожній точці лінії струму вона зберіга­ється за величиною і напрямком. Якщо поле швидкостей і лінії струму змінюються з часом, то такий плин зветься неста­ціонар­ним. У цьому випадку лінії струму під час плину зникають і знову з’являються, у деяких випадках за формою вони нагадують вихори (мал. 3.13б), такий плин рідини зветься турбулентним або вихровим.

Рівняння нерозривності струменя. Розглянемо стаціо­нар­ний плин рідини. Позначимо через υ середню швидкість плину рідини для довільно вибраного перерізу S трубки струму. Маса рідини, що протікає через цей переріз за оди­ни­цю часу, залишається постійною через те, що рідина не розривається і не стискається в звичайних умовах, тобто

dm/dt = const. (3.15)

(Якщо б ця умова не виконувалася, то тубка струму не зберігалася б постійною у просторі). Оскільки dm = Sdl = υdt, з рівняння (3.15) отримаємо:

Sυ = const. (3.16)

Для нестисливої рідини ( = const) рівняння нерозрив­ності струменю дає зв’язок між площиною перерізу трубки струменю і середньою швидкістю плину рідини:

Sυ = const,

або для різних перерізів трубки струму (див. мал. 3.14)

S₁υ ₁ = S₂υ ₂. (3.17)

Величина Q = dV/dt = Sυ [м³/с], що дорівнює об’єму рідини, який протікає через переріз трубки струму за одини­цю часу, зветься об’ємною швидкістю плину рідини. При стаціонарному плині вона залишається величиною сталою. Аналогами цієї величини у фізіоло­гії є витрата крові або хвилинний об’єм крові (ХОК). Виходячи з визначення об’єм­ної швидкості плину рідини, хвилинний об’єм крові можна обчислити як відношення ударного об’єму крові V_уд до періоду скорочення серця Т, або добуток V_уд на частоту серцевих скорочень ЧСС = 1/Т:

ХОК = V_уд /Т = V_удЧСС.

Коли кров рухається по еластичних судинах, внаслідок їх дефор­ма­ції при зміні тиску лінії струму не залишаються постійни­ми. У цьому випадку рівняння нерозривності струменю може бути подано таким чином:

dV/dt = Q₁(t) – Q₂(t), або , (3.18)

де Q₁(t) та Q₂(t) – відповідно приплив та відток крові для ділянки судини. Ці рівняння будуть в подальшому вико­риста­ні при вивченні фізичних основ реографії.

Мал. 3.14. Трубка струму.

Рівняння Бернуллі. Розглянемо стаціонарний плин іде­аль­ної рідини. Виділимо у просторі трубку струму (мал. 3.14) і розглянемо енергію малого елемента об’єму рідини з масою m = V, що протікає через переріз трубки струму за деякий час. Оскільки рідина є ідеальною і робота сил тертя дорівнює нулю, то повна енергія деякого елементу об’єму рідини у цьому випадку буде залишатися величиною сталою при русі вздовж трубки струму:

E = E_к + E_п + E_cт = const, (3.19)

де Е_к = mυ²/2 – кінетична енергія, Е_п = mgh – потенціаль­на енергія, а E_cт = РV – потенціальна енергія виділеного об’єму рідини. Підставляючи ці вирази у формулу (3.19) і вводячи об’ємну густину енергії w = E/V, отримаємо рів­нян­ня Бернуллі, котре являє собою закон збереження енергії для одиниці об’єму рідини, що рухається

. (3.20)

Таким чином, фізичний зміст рівняння Бернуллі полягає в тому, що об’ємна густина енергії w ідеальної рідини при її стаціонарному плині залишається величиною сталою. Зауважимо, що розмірність об’ємної густини енергії дорів­нює [w] = [E]/[V] = Дж/м³= Н/м², тобто вона збігається з розмірністю тиску [p] = Па = Н/м². Тому в гідравліці компо­ненти об’ємної густини енергії w називають: υ²/2 – дина­міч­ним, gh – гідростатичним та Р – статич­ним тисками. У цьому випадку рівняння Бернуллі свідчить про те, що сумарний тиск залишається постійним вздовж трубки стру­му при стаціонарному плині ідеальної рідини.

Мал. 3.15. Об’ємна енергія крові: w_вен – у венозному руслі; w_арт – у артері­аль­но­му руслі; їх різниця w_c = w_арт – w_вен.

Коли кров рухається по судинному руслу, величина об’ємної густини енергії різко змінюється при переході з венозного русла до артеріального (мал. 3.15). Ця зміна обу­мов­лена діяльністю серця як насоса. Насосна функція серця полягає у зміні об’ємної густини енергії крові. Насосну функ­цію серця можна характеризувати різницею об’ємних густин енергії на вході та виході серця, тобто величиною

w_c = w_арт – w_вен.

Розрахунок цих величин за формулою (3.20) свідчить про те, що більш як 95% від величини w_с припадає на потенціальну енергію стисненої рідини в аорті, яка, в свою чергу, визначається величиною середнього артеріального тиску. Отже, величина артеріального тиску дозволяє судити про насосну функцію серця й енергію крові на виході серця, за рахунок якої відбувається її подальший рух по судинному руслу. Зауважимо, що у всіх теплокровних середнє значення артеріального тиску одне і те ж, порядку 90–100 мм Hg, у той час, як інші найважливіші показники системи крово­обігу (такі, як хвилин­ний об’єм, частота серцевих скоро­чень) значно відрізняють­ся. Більш того, в організмі існує спеці­аль­на система слідкування за артеріаль­ним тиском, а точні­ше – за об’ємною густиною енергії крові. Саме її підтримка на певному рівні дозволяє забезпечити рух крові крізь капіляри з оптимальною швидкістю, при якій відбу­ваєть­ся рівномір­на віддача кисню оточуючим ткани­нам (незалежно від того, яка їх кількість включена до робо­ти і який хви­линний об’єм протікає крізь них).

З наведеного вище можна зробити висновок, що кіль­кість енергії, що її передає серце одиниці об’єму крові, є однією з найважливіших констант організму. Спеціальні ре­гуля­торні механіз­ми серця забезпечують саме такий режим скорочення міокарда, за якого при різних навантаженнях серце було б здатне підтримувати на певному рівні об’ємну густину енергії потоку крові, витрачаючи при цьому міні­мум хімічної енергії при скороченні міокарда.

Рівняння руху і рівноваги рідини. Виділимо у рідині елементарний об’єм V циліндричної форми з перерізом S і довжиною х (мал. 3.16). За другим законом Ньютона:

,

або для об’ємних сил:

. (3.21)

Розглянемо сили, що діють на елемент об’єму рідини. Результуюча сила тиску дорівнює

F = S[P(x) – P(x + dx)] = –SdP,

тоді як об’ємна сила тиску (сила, що діє на одиницю об’є­му) є

Проводячи аналогічний розгляд для у, z-компонент сил, отри­ма­ємо:

, (3.22)

де  – символ градієнта (так званий “оператор набла”). З рів­нян­ня (3.22) випливає, що об’ємна результуюча сила тиску за модулем дорівнює градієнту тиску.

Мал. 3.16. Сили, що діють на елемент об’єму рідини.

Рівняння руху рідини (3.4) з урахуванням інших об’єм­них сил, а саме, сили тертя f_тр, сили тяжіння g, інших зовніш­ніх сил f_зовн, можна записати у вигляді:

  dυ/dt = –P + f_тр + g + f_зовн. (3.23)

Якщо сила тиску врівноважується іншими силами за умо­ви, що , то

Р + f_тр + g + f_зовн = 0. (3.24)

Аналогічним рівнянням описують і рівноважний стан рідини, коли рідина знаходиться у спокої, тобто швидкість .