4. Механічні хвилі

Якщо тіло, яке коливається, знаходиться у пружному середо­вищі, то у ділянках середовища, що прилягають до тіла, виникають періодичні деформації, які зумовлюють появу пружних сил. Завдяки взаємодії частинок середовища деформації будуть розповсюджу­ватись з деякою швидкістю, яка залежить від фізичних властивостей середовища. При цьому частинки середовища здійснюють коливаль­ний рух навколо положення рівноваги, а від одних ділянок середо­вища до інших передається лише стан деформації.

Процес розповсюдження коливального руху в середо­вищі називається механічною хвилею. Цей процес можна описати через зміну в часі і просторі положення частинок середовища (зміну величини зміщення S (x, t), тиску P (S, t), або густини  (x, t)). За­леж­но від характеру пружних де­фор­мацій, що виникають у середовищі, роз­різня­ють поздовжні і поперечні хвилі. У поперечних хвилях частин­ки середовища здійснюють коливання в напрямку, перпенди­куляр­но­му до напрямку розповсюдження хвилі. Такі хвилі збуджуються в середовищах, в яких пружні сили виникають при деформаціях зсуву. Як відомо, такими середовищами є, в основному, тверді тіла. У поздовж­ніх хвилях частинки коливаються вздовж лінії розпов­сюдження коливань. Ці хви­лі збуджуються в середовищах, в яких пружні сили вини­кають при деформаціях стиснення і розтягування, тобто в газах, рідинах, твердих тілах.

3.4.1. Хвильове рівняння. Поздовжні і поперечні хвилі

Припустимо, що хвильовий процес розповсюджується у додатному напрямку осі ОХ, а джерело коливань знахо­дить­­ся в площині, перпендикулярній до напрямку розпов­сюд­жен­ня, і коливаєть­ся за законом S(t) = Asin t (мал. 3.29).

Мал. 3.29. Хвильовий процес.

Нехай υ – швидкість розповсюдження хвильового про­це­су у середовищі. Через проміжок часу  = х/υ хвильовий процес досягне точки В, яка знаходиться на відстані х від джерела коливань, і викличе коливання цієї точки через час  за законом:

S(x, t) = Asin (t – ) = Asin (t – x/υ). (3.57)

Рівняння (3.57) – це рівняння плоскої хвилі. Величину називають фазою хвилі. Геометричне місце то­чок, які коливаються в однаковій фазі, утворює хвильову або фазову поверхню. Поверхня, до якої дійшла хвиля у деякий момент часу, називається фронтом хви­лі. У даному випадку фронт хвилі являє собою площину х = const, тому хвиля зветься плоскою. Форма хвильової поверхні визна­чається конфігурацією джерела коливань і властивостями середовища. В ізотропному середовищі від точкового дже­рела розповсюджується сферична хвиля, в якої хвильова повер­хня є сфера.

Під швидкістю розповсюдження хвилі розуміють швидкість роз­повсюдження фіксованої фази коливання. Дійсно, якщо = const, то після диференціювання цієї рівності отрима­ємо:

 (dt – dx/υ) = 0,

звідки υ = dx/dt.

Як відомо, довжина хвилі  дорівнює відстані, яку проходить хвиля за час, що дорівнює періоду коливань:

 = υT.

Враховуючи зв’язок між Т, υ,  i , рівняння (3.57) можна пода­ти у вигляді:

З рівняння плоскої хвилі випливає, що зміщення S = f (x, t), тобто хвиля має подвійну періодичність (як у просторі, так і у часі). Рівняння (3.57) є розв’язком диференційного рівнян­ня другого порядку у частинних похідних:

. (3.58)

Рівняння (3.58) являє собою одновимірне хвильове рівняння плоскої хвилі. Якщо яка-небудь фізична величина описується таким хвильовим рівнянням, то це означає, що вона розповсюджується в просторі у вигляді плоскої хвилі зі швидкістю υ.