3.3.3. Вимушені коливання

Припустимо, що на матеріальну точку масою m, крім пружної або квазіпружної сили і сили тертя, діє зовнішня вимушуюча сила, що змінюється за періодичним законом

F_з = F₀sin t,

де F₀ – амплітуда, а  – циклічна частота вимушуючої сили. В цьому випадку рівняння руху матиме вигляд

ma = – kх – r + F₀sint, або

. (3.53)

Загальний розв’язок диференційного рівняння (3.53) має ви­гляд

х = Аsin(t + ₀), (3.54)

де А – амплітуда вимушених коливань, яка дорівнює

, (3.55)

а початкову фазу ₀ визначають з рівності:

. (3.56)

Важливу формулу (3.55) для амплітуди А вимушених коливань можна отримати, скориставшись графічним мето­дом розв’язку неоднорідних диференційних рівнянь 2-го порядку з постійними коефіцієнтами. З формули (3.54) для зміщення х легко отримати вирази для похідних

,

.

Якщо намалювати “векторну” або “фазову” діаграму (мал. 3.25а), відклавши на ній амплітудні значення всіх доданків у рівнянні (3.53) з урахуванням зсуву їх фаз, то очевидно, що векторна сума трьох доданків у лівій частині (3.53) повинна дорівнювати амплі­тудному значенню виму­шу­­ючої сили, тобто . Звідси безпосередньо випливає формула (3.55) для амплітуди А, так само як і формула (3.56) для tg.

Мал. 3.25а. Векторна діаграма для визначення амплітуди A і початкової фази ₀.

Таким чином, якщо на тіло, яке коливається, діє зовніш­ня періодична сила з частотою , то тіло здійснює коливан­ня з тією ж частотою, причому амплітуда коливань залежить від амплітуди і частоти зовнішньої сили, від коефіцієнта затухання, від пружних властивостей системи і маси тіла, яке коливається. Такі коливання називають вимушеними.

3.3.4. Явище резонансу і автоколивання

Явище досягнення максимальної амплітуди вимушених коли­вань при заданих ₀ i  називають резонансом. Явище резонан­су спостерігається при такій частоті _рез вимушу­ючої сили, при якій амплітуда вимушених коливань А досягає максимального значення. Відповідно до формули (3.55) дослідження функції А = f () на екс­тре­мум дає рів­нян­ня , яке дозволяє от­­ри­­­ма­ти значення резо­нанс­ної частоти:

.

Цьому значенню резонансної частоти відповідає значення резонансної максимальної амплітуди

.

За відсутності затухання ( = 0): _рез = ₀, a A_рез  .

Н а мал. 3.25б подані резонансні криві – залежності амплі­туди вимушених коливань від частоти змушуючої сили при різних коефіцієнтах затухання ( ).

Мал. 3.25б. Явище резонансу.

При вимушених коливаннях подача енергії ззовні (для компен­са­ції втрат на тертя) здійснюється і регулюється зовнішньою періодичною силою, яка нав’язує системі свою частоту і визначає амплітуду коливань. Однак, можна ви­кли­кати незатухаючі коливан­ня і постійною силою, якщо сама система буде регулювати подачу енергії ззовні.

Системи, які автоматично регулюють подачу енергії від зовніш­нього джерела, називають автоколивальними, а пері­одич­ні процеси, які в них відбуваються, – автоколиваннями. Амплітуда і частота автоколивань залежать від власти­вос­тей самої системи. Схему автоколивальної системи, яка скла­­да­ється з чотирьох обов’язкових елементів, подано на мал. 3.26.

Мал. 3.26. Автоколивальна система.

Прикладами автоколивальних систем є:

1. Годинник (маятник – коливальна система, піднесена гиря або пружина – джерело енергії, анкер–регулятор над­ходжен­ня енергії від джерела в коливальну систему, який зв’я­заний з коливальною системою зворотним зв’язком).

2. Генератор електромагнітних коливань.

3. Серце, легені – біологічні автоколивальні системи.

Форма автоколивань може бути різною: це можуть бути коли­ван­ня, що наближаються до гармонічних (маятниковий годинник, коливання в LC-генераторах), або імпульсні коли­ван­ня різної форми – прямокутні, експоненціальні, пилко­подібні.