3.3.5. Додавання гармонічних коливань

Коливання, для котрих зміщення як функція часу може бути описано будь-яким законом, окрім синуса чи косинуса, називають складними (негармонічними).

Відомо, що будь-яке складне коливання можна подати у вигляді суми простих гармонічних коливань. Перш ніж аналізувати складні коливання (а таку задачу медикам дово­диться розв’язувати досить часто), розглянемо, до яких ре­зуль­татів може призвести додавання гармонічних коли­вань.

1. Додавання гармонічних коливань, спрямованих вздовж однієї прямої

Нехай тіло бере участь одночасно у двох коливаннях, спрямованих вздовж однієї прямої, причому амплітуди і періоди (частоти) цих коливань однакові, а початкові фази різні

, .

Результуюче зміщення х тіла від положення рівноваги до­рів­нює алгебраїчній сумі зміщень х₁ і х₂:

де .

Таким чином, результуюче коливання являє собою гармонічне коливання, яке відбувається вздовж тієї ж самої прямої, що і складові коливання, і з періодом (частотою), який дорівнює періоду (частоті) складових коливань. Амплі­туда результуючого коливання залежить від різниці почат­ко­вих фаз складових коливань. Якщо = 2k, де k = 0, 1, 2, …, то i A_рез = 2A (або А_рез = А₁ + А₂, якщо А₁  А₂). Якщо ₁ – ₂ = (2k + 1), то і A_рез = 0 (або А_рез = А₁ – А₂, якщо А₁  А₂). Якщо складові коливання відрізняються періодами (частотами), то результу­юче коливання вже не буде гармонічним.

Розглянемо, як особливо цікавий, результат додавання двох гармонічних коливань рівних амплітуд і фаз, періоди (частоти) яких відрізняються, тобто

, .

Результуюче зміщення дорівнює

де .

Якщо різниця ₁ – ₂ мала, то амплітуда A(t) змінюється з ча­сом за гармонічним законом, але з частотою . Такі коливання називають биттям (мал. 3.27).

Мал. 3.27. Биття.

Період зміни амплітуди коливань називають періодом бит­тя (Т_б). Період биття може бути визначений з умови:

.

Отже, частота  . Таким чином, час­то­та змі­ни амплітуди результуючого коливан­ня дорівнює різ­ниці частот складових коливань.

2. Додавання взаємноперпендикулярних гармонічних коливань

Нехай матеріальна точка водночас бере участь у двох коливаннях, що відбуваються у взаємно перпендикулярних напрям­ках:

, .

Cукупність координат х і у матеріальної точки у різні мо­ме­нти часу визначають траєкторію руху матеріальної точ­ки у площині XY. Форма траєкторії залежить від спів­від­но­шення частот і різниці фаз складових коливань. Наведемо деякі випадки додавання коливань (мал. 3.28):

1.  = ₁ – ₂ = 0, ₁ = ₂,

рівняння траєкторії у = (А₂/А₁)х;

2.  = ₁ – ₂ = , ₁ = ₂,

рівняння траєкторії у = (– А₂/А₁)х;

3)  = /2, ₁ = ₂, рівняння траєкторії ;

4, 5) , у цьому випадку форма траєкторії за­ле­­жить від співвідношення частот ₁ і ₂. На мал. 3.28 наве­дено траєкторії для випадків ₁ : ₂ = 1:2 і ₁ : ₂ = 2:3.

Мал. 3.28. Складання взаємноперпендикулярних коливань (фігури Лісажу).

Отримані криві, що їх описує матеріальна точка, назива­ють фі­гу­рами Лісажу. Криві, подібні до кривих Лісажу, спос­тері­гають при дослідженні біопотенціалів серця мето­дом векторелектрокардіогра­фії.