4. Розрахунок вала на кручення

Кручення – це вид деформації, при якому у поперечних перетинах діє внутрішній силовий фактор – крутний момент, М_кр. Брус, що сприймає деформацію кручення в механіці називають валом. У поперечних перетинах вала діють дотичні напруження, які визначають за формулою

;

де – відстань від полюса до точки, в якій визначаємо дотичні напруження.

Епюра розподілу дотичних напружень по висоті поперечного перетину показана на рис. 4.1.

Рис. 4.1

Максимальні дотичні напруження та умова міцності при крученні:

;

де – допустиме дотичне напруження, визначається із залежності

;

– полярний момент опору поперечного перетину,

.

Відносний кут закручування визначають за формулами:

;

Повне кутове переміщення вала довжиною l знаходять з виразу

;

тоді .

Умова жорсткості вала при крученні

,

де .

Приклад розв’язку задачі 4 розрахунок вала на міцність і жорсткість

На вал насаджено 5 шківів, які передають потужності N₁=10кВт; N₂=50кВт; N₃=48кВт; N₄=80кВт (рис. 4.2а). Визначити діаметри окремих ділянок вала, виходячи з умови міцності на кручення при [τ]=50МПа. Провести перевірку вала на жорсткість при допустимому куті закручування [ ]=2град/м. Частота обертання вала ω=40с^-1, матеріал – сталь Ст.3.

Розв’язання

Значенняпотужності N₀ визначаємо на основі рівняння балансу потужностей, записаного з врахуванням напряму дії зосереджених моментів (тертям в опорах нехтуємо)

–N₀+N₁+N₂+N₃–N₄=0;

звідси

N₀=N₁+ N₂+N₃–N₄=10+50+48-80=28кВт.

Скручувальні моменти М_і (і=0,1,2,3,4), які передаються кожним шківом, визначаються за формулою

.

Підставивши значення, отримаємо:

;

Крутні моменти (і=0, 1, 2, 3, 4) на кожній ділянці вала відповідно рівні (рис. 4.2а):

= –М₀ = –0,7кНм;

= –М₀+М₁= –0,7+0,25= –0,45кНм;

= М₄–М₃=2,0–1,2=0,8кНм; = М₄=2,0кНм.

Рис. 4.2

Використовуючи отримані значення, будуємо епюру крутних моментів (рис. 4.2б).

З умови міцності на кручення визначаємо діаметр вала

.

Підставивши значення крутних моментів для кожної ділянки вала, отримаємо:

;

Приймаємо діаметри ділянок вала:

d₁=42мм; d₂=36мм; d₃=45мм; d₄=60мм.

Використовуючи отримані значення, викреслюємо ескіз вала

(рис. 4.2в).

Кути закручування окремих ділянок вала знайдемо за формулою

; і=1,2,3,4,

де l_i – довжина ділянки вала;

G – модуль зсуву, G=8,110⁴МПа;

– полярний момент інерції поперечного перетину вала,

визначається за формулою

.

Підставивши значення, отримаємо:

;

;

;

.

Використовуючи значення ₁, ₂, ₃, ₄, будуємо епюру кутів закручування вала (рис. 4.2г), прийнявши за початок відліку перетин А. Значення кутів закручування перетинів В, С, D, E відносно А відповідно рівні:

_BA= ₁ = –1,1010^-2 рад;

_CA= _BA+₂ = – (1,10+1,98)10^-2 = –3,0810^-2 рад;

_DA= _CA+₃ = (–3,08+1,10)10^-2 = –1,9810^-2 рад;

_ЕA=_DA+₄ = (–1,98+1,09)10^-2 = –0,8910^-2 рад.

Перевірку на жорсткість вала проведемо за умовою жорсткості

_max[ ],

де _max – максимальний кут закручування вала на одиницю його довжини.

Для визначення _max підрахуємо значення даної величини на кожній ділянці вала:

;

;

;

.

Маємо

.

Отже, умову жорсткості забезпечено.