Приклад розв’язку задачі 6 розрахунок вала на згин з крученням

Стальний вал трансмісії робить n=100об/хв і передає через два ведених шківи потужності N₁=70кВт і N₃=40кВт (рис. 6.2а); діаметри шківів D₁=60см, D₂=40см, D₃=30см.

Визначити діаметр вала, якщо []=200МПа, ₁=30, ₂=240, ₃=180 (на рис. 6.2. кути відкладено від осі ), а=100см.

Розв’язання

Визначаємо потужність, що передається ведучим шківом

N₂ = N₁ + N₃ = 70 + 40 = 110кВт.

Величини моментів, що передаються шківами визначаємо за формулою

;

де - кутова швидкість вала, визначається за формулою

;

тоді

;

;

Використовуючи метод перетинів будуємо епюру крутних моментів, (рис. 6.2б).

Визначаємо сили натягів пасових передач за формулою

,

відповідно

Сили тиску на вал у місцях посадки шківів визначається як

.

Тобто

;

Розкладаємо сили тиску на вертикальні і горизонтальні складові:

F_1Z = -F₁ sin30 = -22,3 sin30 = -11,2кН;

F_1Y = F₁ cos30=22,3 cos30=19,3кН;

F_2Z = F₂ sin60 = 52,4 sin60 = 45,4кН;

F_2Y = -F₂ cos60=-52,4 cos60=-26,2кН;

F_3Z = 0;

F_3Y = -F₃ = 25,4кН.

Розглянемо вертикальну площину (рис. 6.2в)

Вертикальні складові реакцій опор А і В визначаємо з рівнянь рівноваги:

звідки

Перевірка

Визначаємо згинальні моменти у характерних точках вертикальної площини:

Б удуємо епюру згинальних моментів у вертикальній площині (рис. 6.2г).

Розглянемо горизонтальну площину (рис. 6.2д).

Визначаємо опорні реакції:

; .

Перевірка

тобто опорні реакції визначено вірно.

Визначаємо згинальні моменти у характерних точках горизонтальної площини:

;

Будуємо епюру згинальних моментів у горизонтальній площині (рис. 6.2е).

Визначаємо сумарні значення згинальних моментів у характерних перетинах за формулою

.

Визначимо:

.

Будуємо епюру сумарних згинальних моментів (рис. 6.2ж)

З аналізу епюр (рис. 6.2б) і (рис. 6.2ж) визначимо небезпечний перетин – це перетин К, у якому

; .

Розрахунковий момент знайдемо за 3-ю теорією міцності

З умови міцності при сумісній дії згину з крученням

визначаємо діаметр вала

приймаємо d = 120мм.

Рис. 6.2

7. Стійкість центрально стиснутих стержнів

З теоретичної механіки відомо, що рівновага абсолютно твердого тіла може бути стійкою, байдужою і нестійкою. Аналогічно це можна віднести і до деформованого тіла.

Так, довгий стержень при дії порівняно невеликої осьової стискуючої сили (меншої деякої критичної), знаходиться в стані стійкої рівноваги (рис. 7.1). Якщо стержень незначно зігнути якимось поперечним навантаженням, а потім це навантаження забрати, то стержень знову вирівняється, тобто прийме початкове положення.

Рис. 7.1

Якщо на стержень діє сила, яка дорівнює критичній, то стержень перебуватиме у стані байдужої рівноваги. При незначному відхиленні від початкового положення, під дією поперечної сили стержень назад не повертається (рис. 7.2).

Рис. 7.2

При значенні стискуючої сили, яка перевищує критичну, прямолінійна форма рівноваги стає не стійкою, стержень втрачає свою початкову форму (рис. 7.3).

Найменше значення стискуючої сили, при якій стержень втрачає властивість зберігати прямолінійну форму, називають критичною, позначають F_кр .

Рис. 7.3

Задачу визначення величини критичної сили вперше розв’язав академік Петербурзької академії наук Леонард Ейлер у 1744р. Формула Ейлера

,

де Е – модуль пружності 1-го роду;

І_min – мінімальний осьовий момент інерції поперечного перетину;

 – коефіцієнт приведення довжини, залежить від способу

закріплення кінців стержня;

l – довжина стержня.

Найчастіше кінці стержня закріплюють так, як показано на рис.7.4.

Рис. 7.4

Формула Ейлера отримана з диференціального рівняння зігнутої осі, яке випливає із закону Гука. Згідно цієї формули напруження, що виникає у матеріалі, не перевищує границю пропорційності:

Гранична гнучкість стержня описується залежністю

Для сталі Ст.3, при середніх гнучкостях =40–100, користуються емпіричною формулою Ясінського

де a, b – коефіцієнти що залежать від матеріалу стержня,

a=310МПа; b=1,14МПа.

На рис. 7.5 показано графік залежності критичного напруження від гнучкості для стержнів із сталі Ст.3.

Р ис. 7.5

При визначенні критичної сили, яку можна прикласти до стержня, спочатку визначаємо критичну гнучкість , далі дійсну гнучкість стержня

^{Маючи }₀ ^{і  визначаємо, яку з формул використовуємо:}

- при формулу Ейлера,

- при _ср₀ формулу Ясінського;

- при _ср , σ_кр=σ_т .

Визначення розмірів поперечного перетину ускладнюється тим, що наперед не відомо, в якому діапазоні буде знаходитися дійсна гнучкість стержня, тобто якою з формул користуватися Ейлера чи Ясінського. У такому випадку розрахунок на стійкість зводиться до розрахунку на стиск, за формулою

,

де  – коефіцієнт зменшення основного допустимого напруження

(табл. 8);

[ ]  – основне допустиме напруження на стиск;

А – площа поперечного перетину стержня.

Таблиця 8

Гнучкість бруса	Сталь марок Ст.ОС, Ст.2, Ст.3, Ст.4	Сталь Ст.5	Сталь СПК	Чавун	Дерево
0	1,00	1,00	1,00	1,00	1,00
10	0,99	0,98	0,97	0,97	0,99
20	0,96	0,95	0,95	0,91	0,97
30	0,94	0,92	0,91	0,81	0,93
40	0,92	0,89	0,87	0,69	0,87
50	0,89	0,86	0,83	0,57	0,80
60	0,86	0,82	0,79	0,44	0,71
70	0,81	0,76	0,72	0,34	0,60
80	0,75	0,70	0,65	0,26	0,48
90	0,69	0,62	0,55	0,20	0,38
100	0,60	0,51	0,43	0,16	0,31
110	0,52	0,43	0,35	-	0,25
120	0,45	0,36	0,30	-	0,22
130	0,40	0,33	0,26	-	0,18
140	0,36	0,29	0,23	-	0,16
150	0,32	0,26	0,21	-	0,14
160	0,29	0,24	0,19	-	0,12
170	0,26	0,21	0,17	-	0,11
180	0,23	0,19	0,15	-	0,10
190	0,21	0,17	0,14	-	0,09
200	0,19	0,16	0,13	-	0,08