Раздел II. Кинематика

Кинематикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел в пространстве с геометрической точки зре­ния, вне связи с силами, определяющими это движение. Слово «кинематика» происходит от греческого слова «кинема», что значит движение.

Движение, рассматриваемое в самом общем смысле слова, т. е. понимаемое как форма бытия материи, как внутренне присущий материи атрибут, охватывает собою все происходящие во вселенной изменения и процессы, начиная от простого перемещения и кончая мышлением. Материя без движения так же немыслима, как движение без ма­терии. В мире нет ничего кроме движущейся материи, и движущаяся материя не может двигаться иначе, как в пространстве и во времени.

Таким образом, всякое движение происходит в пространстве и во времени, т. е. пространство и время представляют собой формы существования материи. Они так же объективно реальны, как и материя. Движение и материя существуют вечно и не могут быть ни созданы, ни уничтожены.

В теоретической механике изучается простейшая форма движения материи — механическое движение, т. е. происходящее во времени измене­ние положения одного тела относительно другого, с которым связана система координат, называемая системой отсчета. Систему отсчета можно связать с любым телом. Эта система может быть как движу­щейся, так и условно неподвижной.

При изучении движения на Земле за условно неподвижную систему отсчета обычно принимают систему осей, неизменно связанных с Зем­лей.

Тело, положение которого по отношению к выбранной системе отсчета не изменяется, находится в состоянии относительного покоя (по отношению к этой системе).

Пространство в механике рассматривается как трехмерное евкли­дово пространство, и все измерения в нем производятся на основания методов евклидовой геометрии. За единицу длины при измерении рас­стояний принимается метр.

Время в классической механике предполагается универсальным, т. е. одинаковым во всех системах отсчета и не зависящим от движения одной системы относительно другой. Оно рассматривается как непрерывно изменяющаяся величина. За единицу времени принимается одна секунда, равная 1/(24∙3600) средних солнечных суток.

Все кинематические величины, характеризующие движение твердого тела и движение отдельной его точки (расстояния, скорости, ускорения), рассматриваются как функции времени.

Хотя евклидово пространство и универсальное время отражают реальные свойства пространства и времени лишь приближенно, тем не менее они позволяют с достаточной для практики точностью изучать движения, скорости которых далеки от скорости света.

Все кинематические характеристики движения твердого тела или отдельных его точек одинаковы для «материальных» и «геометри­ческих» точек, поэтому ниже употребляется термин «точка» без пояс­нения «материальная» она или «геометрическая».

Глава 1. Скорости точки при различных способах задания движения

1.1. Естественный способ задания движения точки, определение

Скорости точки

Естественный способ задания движения точки применяется в случае, когда траектория точ­ки заранее известна (движение транспортных средств по рельсовому пути, автомобильным дорогам).

Линия, представляющая собой геометрическое место последователь­ных положений движущейся точки в рассматриваемой системе отсчета, называется траекторией (рис. 2.1).

Траектория движения транспортных средств – дороги – характеризуются допустимой кривизной и наибольшим уклоном. Для железных дорог рекомендуются радиусы кривизны 400–4000 м, допустимые радиусы кривизны в трудных условиях 300–2000 м, наибольший уклон профиля 1,5–2,5 градуса. Для автомобильных дорог наименьший радиус кривизны может находится в пределах 250 – 260 м, а наибольший уклон – 4–5 градусов.

М

М₀

Рис. 2.1

Положение движущейся точки М на траектории определяется дуговой координатой, т. е. расстоянием ОМ = s. При движении точки М расстояние s от этой точки до неподвиж­ной точки О изменяется с течением времени, т. е. дуговая координата s является функцией времени:

.

Эта функция однозначна (точка в каждое мгновение занимает на траектории только одно положение), непрерывна (точка не может перейти из одного положения в другое, минуя промежуточное), дважды дифференцируема и называется уравнением движения.

Таким образом, движение точки определено, если известны следую­щие элементы: траектория точки, начало и направление отсчета дуговой координаты и уравнение движения . Дуговая координата не всегда совпадает с длиной пути, пройденным движущейся точкой. Дуговая координата s точки М в некоторый момент времени t может быть равна пути, пройденному точкой за промежуток времени [0,t] только в том случае, если движение точки начинается из точки О (начала отсчета дуговой координаты) и совершается в положительном направлении.

Одной из основных кинематических характеристик движения точки является скорость. Скорость – это векторная величина, характеризующая быстроту и направление движения точки в данной системе отсчета. Размерность скорости , т.е. единицы длина/время. В качестве единиц измерения принимают обычно м/с или км/ч.

Модуль скорости равен абсолютному значению производной от ду­говой координаты точки по времени.

.

Производная определяет алгебраическое значение скорости, знак этой производной указывает, в какую сторону по касательной к траектории (в направлении возрастания или убывания дуговой координаты s) направлен вектор скорости .