8.3. Трение качения

Трением качения называется сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого. Между катком и плоскостью, на которой он покоится, возникают силы тре­ния, если приложить к оси катка силу (рис. 1.90, а), стремящуюся его двигать по плоско­сти. Рассмотрим случай, когда сила парал­лельна горизонтальной плоскости.

а) б)

Рис. 1.90

Из опыта известно, что при изменении величины силы от нуля до некоторого предельного значения каток остается в по­кое, т. е. силы, действующие на каток, уравновешиваются. Кроме активных сил: веса и силы , к катку, равновесие которого рассматривается, приложена реакция плоскости. Из условия равно­весия трех непараллельных сил следует, что реакция плоскости должна проходить через центр катка О, так как две другие силы приложены к этой точке. Следовательно, точка приложения реакции С должна быть смещена на некоторое расстояние от вертикали, проходящей через центр колеса, иначе реакция не будет иметь горизонталь­ной составляющей, необходимой для удовлетворения условий рав­новесия. Разложим реакцию плоскости на две составляющие: нормальную составляющую и касательную реакцию , являю­щуюся силой трения (рис. 1.90,б).

Таким образом, в предельном положении равновесия катка к нему будут приложены две взаимно уравновешивающиеся пары: одна пара сил ( , ) с моментом (где r — радиус катка) и вторая пара сил ( ), удерживающая каток в равновесии. Момент второй пары, называемый моментом трения качения, опре­деляется формулой

,

где - коэффициент трения качения, измеряемый в единицах длины. Этот коэффициент можно рассматривать как расстояние, на которое смещается реакция N от вертикали, проходящей через центр катка.

Для того, чтобы имело место чистое качение (без скольжения), необходимо, чтобы сила трения была меньше по величине, чем максимальная сила трения скольжения

,

где f — коэффициент трения скольжения.

Задача 1.15. Цилиндрический каток диаметра 60 см и весом Q=3,92кН приводится в равномерное движение человеком, кото­рый давит на рукоятку АО = 1,5 м с постоянной силой в на­правлении АО. Высота точки А над горизонтальной дорогой 1,2 м. Коэффициент трения качения катка равен = 0,5 см. Определить величину силы , силу трения при качении и нор­мальную составляющую реакции горизонтальной плоскости (рис. 1.91, а). Коэффициент трения скольжения между катком и доро­гой = 0,2.

Решение. При равномерном качении катка все силы, дей­ствующие на каток, уравновешиваются. К катку приложены две активные силы: вес катка и сила давления человека . На ка­ток наложена одна связь — горизонтальная плоскость. Применив закон освобождаемости от связей, отбросим мысленно горизон­тальную плоскость и заменим ее действие реакцией . Эта реак­ция приложена в точке С, находящейся на расстоянии от вер­тикали, проведенной через центр колеса. Реакция (рис. 1.91,б) направлена по прямой СО, так как согласно теореме о трех непараллельных силах в случае равновесия линии их действия пересекаются в од­ной точке О. Реакцию плоскости раскладываем на две составляющие: нормальную составляющую , перпендикулярную к плоскости, и касатель­ную составляющую — силу трения при каче­нии , направленную вдоль плоскости.

Рассмотрим равно­весие катка как твер­дого тела, находящего­ся под действием четы­рех сил: , . Выберем систему декартовых координат. Ось х направим по го­ризонтальной плоскости вправо, ось у — вертикально вверх че­рез центр катка. Составим уравнения равновесия. Обозначив бук­вой а угол между горизонталью (осью х) и рукояткой ОА, по­лучим

Рис. 1.91

; (а)

; (б)

. (в)

В уравнении (в) буквой r обозначен радиус катка.

При составлении суммы моментов сил относительно точки С сила , приложенная в центре катка О, разложена на две состав­ляющие — горизонтальную ( ) и вертикальную ( ) и использована теорема Вариньона. При этом, как принято всегда делать, при вычислении момента горизонтальной составляющей силы мы пренебрегли изменением ее плеча, считая, что оно равно радиусу катка r.

Из уравнения (в) найдем величину искомой силы

кН.

Равенство (б) даст

кН.

Из уравнения (а) определяем величину силы трения:

кН.

Проверим, сопоставляя величины силы трения при качении и силы трения скольжения, будет ли в данном случае чистое каче­ние или же будет иметь место скольжение. Сила трения скольже­ния равна

кН.

Таким образом, сила трения скольжения больше силы трения при качении

и каток будет катиться без скольжения.