Модуль вращательного ускорения точки твердого тела равен произ­ведению расстояния от точки до оси вращения на модуль углового ускорения тела.

Вектор вращательного ускорения направлен по касательной к окружности, описываемой точкой, в сторону углового ускорения.

Модуль центростремительного ускорения точки твердого тела равен произведению расстояния от точки до оси вращения на квадрат угло­вой скорости тела

(2.10)

Вектор центростремительного ускорения точки направлен всегда от точки к центру описываемой окружности, то есть перпендикулярен .

Модуль полного ускорения точки

(2.11)

Тангенс угла β, составленного уско­рением с радиусом окружности СМ

Эта формула показывает, что угол, составленный ускорением точки вращающегося тела с отрезком, соединяющим точку с центром окружности, не зависит от положения точки в теле.

Из формул (2.9). (2.10) и (2.11) следует, что модули вращательных, центростремительных и полных ускорений точек вращающегося тела пропорциональны расстояниям от этих точек до оси вращения. Поэтому по ускорению какой-либо точки А вращающегося диска (рис. 2.30) можно определить графически ускорение любой другой точки В этого диска, лежащей на радиусе АС.

Скорость и ускорение точек вращающегося твердого тела могут быть определены в виде векторных произведений (рис. 2.31):

; ; .

Рис. 2.30 Рис. 2.31

Задача 2.5. Груз А, подвешенный к нити АВ, намотанной на барабан, опу­скается равноускоренно из состояния покоя, приводя во вращение барабан. За первые 3 с барабан совершает 9 оборотов. Определить в конце 5-й секунды скорость и ускорение точки обода барабана, а также груза А, если диаметр барабана D = 30 см (рис. 2.32, а).

Рис. 2.32

Решение. Барабан вращается равноускоренно согласно уравнению

.

Формула угловой скорости имеет вид:

.

Для того, чтобы начальное значение угла поворота было равно нулю, необходимо неподвижную полуплоскость поместить в начальном положении под­вижной полуплоскости, вращающейся с барабаном. Выполним это и получим .

При вращении из состояния покоя начальная угловая скорость барабана равна нулю . При этих условиях формулы принимают вид

; (2.12)

. (2.13)

Так как при t = 3 с рад, то из уравнения (2.12) определим угловое ускорение

.

Из уравнения (2.13) найдем угловую скорость барабана в конце 5-й секунды

.

Определим в точке В обода барабана (рис. 2.32, б) модули вращательной скорости, вращательного и центростремительного ускорений в этот же момент времени по формулам:

.

(модуль вращательного ускорения точки тела при равнопеременном вращении одинаков для всех моментов времени)

.

Модуль полного ускорения точки обода барабана определяется по формуле

.

Вследствие незначительной величины модуля вращательного ускорения по сравнению с модулем центростремительного ускорения полное ускорение прибли­женно равно центростремительному.

Скорость груза равна скорости точки обода барабана

.

Ускорение груза (рис. 2.32, б) равно вращательному ускорению точки обода

.

Задача 2.6. По заданному уравнению прямолинейного поступательного движения груза 1 , см определить скорость, а также вращательное, центростремительное и полное ускорение точки М механизма в момент времени, когда путь, пройденный грузом, равен s. см; см; см; см; см (рис. 2.33).

Рис. 2.33

Решение. Кинематический анализ. Механизм состоит из трех тел: груз 1 совершает поступательное движение, а колеса 2 и 3 вращаются вокруг неподвижных осей, перпендикулярных плоскости чертежа. Связи между телами идеальны. Определим момент времени t, когда путь s, пройденный грузом равен 50 см

,

откуда

.

Скорость груза определим дифференцированием по времени уравнения движения

.

Определение угловых параметров колес 2 и 3.

Угловая скорость колеса 2

.

Угловые скорости колес 2 и 3, связанных гибкой передачей, обратно пропорциональны радиусам этих колес, то есть

,

откуда

.

Угловое ускорение колеса 3

.

Определение линейных параметров.

Скорость точки М колеса 3

и направлена перпендикулярно к радиусу в сторону вращения колеса 3.

Вращательное ускорение точки М

и имеет одинаковое со скоростью направление, так как вращение колес ускоренное (угловая скорость и угловое ускорение имеют одинаковые знаки).

Центростремительное ускорение точки М

и направлено по радиусу к центру колеса.

Полное ускорение

.

Значения всех определяемых величин для времени представлены в табл. 2.4, а направление скоростей и ускорений точки М показаны на рис. 2.34.

Рис. 2.34

Таблица 2.4

		v, см/с	У с к о р е н и е, см/с2
					а
2,75	2,75	110	110	756,3	764,26

3.7. Передаточные механизмы, передаточное число

Передаточные механизмы предназначены для передачи вращения от одного вала, называемого ведущим, к другому, называемому ведо­мым. Если оси ведущего и ведомого валов параллельны или пересекают­ся, то вращение можно передать с помощью фрикционной или зубчатой передачи

(рис. 2.35-2.38).

Во фрикционной передаче вращение передается вследствие действия силы сцепления на поверхности соприкасающихся колес, в зубчатой передаче - от зацепления зубьев.

Отношение угловой скорости ведущего колеса к угловой скорости ведо­мого колеса называется передаточным числом

Передаточное число можно вычислить как обратное отношение радиусов колес

Рис. 2.35 Рис. 2.36

Рис. 2.37 Рис. 2.38

Так как числа зубьев пропорциональны длинам окружностей и, следовательно, радиусам, то передаточное число определяется и по числу зубьев

При внешнем зацеплении (рис. 2.35, 2.37) направление вращения ведущего и ведомого колес противоположное, а при внутреннем (рис. 2.36) - одинаковое.

Возможна передача на расстоянии с помощью гибкой связи (ремня, троса, цепи) (рис. 2.38). Taк как скорости всех точек ремня одинаковы и ремень не скользит по поверхности шкива, то к ременной передаче относятся те же соот­ношения

Применяются также серии колес с неподвижными осями вращения в виде последовательного ряда с паразитными колесами (рис. 2.39) и последовательного ряда с кратным зацеплением (рис. 2.40), называемые рядовыми соединениями колес.

Рис. 2.39 Рис. 2.40

Определим передаточное число фрикционной передачи в виде рядо­вого соединения с паразитными колесами:

для колес 1-2

для колес 2-3

Перемножаем левые и правые части, получаем

.

Для зубчатых колес

Передаточное число рядового соединения с паразитными колесами равно отношению радиусов (чисел зубьев) ведомого и ведущего колес и не зависит от радиусов (чисел зубьев) паразитных колес.

Определим передаточное число рядового соединения с кратным зацеплением. Частное передаточное число для колес 1-2

.

Частное передаточное число для колес 3-4

.

Так как колеса 2—3 соединены жестко, т. е. , то общее передаточное число равно произведению передаточных чисел:

.

Для зубчатых колес

.

Таким образом, общее передаточное число рядового соединения колес с кратным зацеплением равно произведению чисел зубьев ведомых колес, деленному на произведение чисел зубьев ведущих колес.

В рассмотренных выше передачах при равномерном вращении ведущего вала ведомый вал вращается тоже равномерно.

Для получения переменной угловой скорости ведомого вала приме­няются передачи, в которых расстояние от точки соприкасания колес до оси одного из валов или обоих валов изменяется.

Во фрикционной передаче, изображенной на рис. 2.41, колесо 1 пере­мещается вдоль его оси и отношение угловых скоростей зависит от переменного расстояния х

.

Рис. 2.41 Рис. 2.42

На рис. 2.42 изображены эллиптические колеса, оси вращения которых находятся в фокусах эллипсов. Отношение угловых скоростей зависит от переменных расстояний

где

.

Задача 2.7. Редуктор скоростей, изображенный на рис. 2.43, а, б, обеспечивает вращение валов I и II, имеющих общую геометрическую ось, с различ­ными угловыми скоростями. Определить частоту вращения вала II, соответствующую частоте вращения вала I n₁= 800 мин^-1, если числа зубьев шестерен соответственно: z₁ = 12, z₂ = 60, z₃ = 20, z₄ = 80.

Решение. Передаточное число редуктора равно отношению угловой скорости ведущего вала к угловой скорости ведомого:

При этом угловые скорости ведущего и ведомого валов равны угловым скоростям жестко соединенных с ними шестерен:

Рис. 2.43

Для получения зависимости между угловыми скоростями шестерен 1 и 4 следует определить передаточное число передачи, состоящей из двух пар колес (рис. 2.43, б), согласно формуле

Пользуясь частотами вращения, выраженными в мин^-1, имеем

откуда

мин^-1.