Глава 5. Сферическое движение твердого тела

5.1. Эйлеровы углы. Уравнения сферического движения твердого тела

Рассмотрим движение твердого тела, одна из точек которого во все время движения остается неподвижной. При таком движении все остальные точки тела движутся по сферическим поверхностям, центры которых совпадают с неподвижной точкой. По этой причине рассматриваемое движение тела называют сферическим движением твердого тела.

Примером сферического движе­ния твердого тела может служить движение волчка, имеющего неподвижную точку (рис. 2.87).

Рис. 2.87

Для определения положения тела в каждый момент времени необходимо знать значения трех углов φ,θ, , называемых углами Эйлера. Воспользуемся двумя системами осей коор­динат: неподвижной системой Охуz и началом в неподвижной точке О и подвижной системой Oξηζ, неизменно связанной с твердым телом, с началом в той же неподвижной точке. Обозначим OJ линию пересечения неподвижной плоскости xOy и подвижной плоскости Oξη, называемую линией углов.

Угол – угол прецессии определяет положение линии узлов OJ. Для изменения этого угла тело должно вращаться вокруг оси Oz,

которую называют осью прецессии. Угол прецессии положителен, если он отсчитывается от неподвижной оси Ох против хода часовой стрелки до положительного направления линии оси Oz.

— угол собственного вращения образован линией узлов ОК и подвижной осью . Этот угол положителен, если смотря с положительного направления оси Oz поворот оси виден происходящим против часовой стрелки. Для изменения угла  тело должно вращаться вокруг подвижной оси , которая называется осью собственного вращения.

— угол нутации определяет угол между координатными плоскостями Oxy и Oξη. Так как угол между плоскостями равен углу между перпендикулярами, проведенными к соответствующим плоскостям, то угол нутации показывают между осями Oz и . Он считается положительным, если поворот подвижной оси виден происходящим против хода часовой стрелки с положительного направления линии узлов OJ.

При движении твердого тела, одна из точек которого остается неподвижной, углы ,θ,φ непрерывно изменяются во времени, являясь функциями времени t:

Эти уравнения, однозначно определяющие сферическое движение тела, называются уравнениями сферического движения твердого тела. Так как положение твердого тела, имеющего одну неподвижную точку, определяется тремя эйлеровыми углами, т.е. тремя параметрами, то оно имеет три степени свободы.

5.2. Угловая скорость тела при сферическом движении

При сферическом движении вращение тела происходит вокруг оси, проходящей через неподвижную точку О. Ось вращения называется мгновенной, так как ее положение в пространстве меняется. Мгновенная ось представляет собой геометрическое место точек тела, скорости которых в данный момент равны нулю. Угловая скорость , с которой тело поворачивается вокруг мгновенной оси, представляет собой геометрическую сумму угловых скоростей тела при вращении вокруг оси прецессии , оси собственного вращения и вокруг линии узлов (нутации) (рис. 2.88)

.

Поскольку значения , , со временем изменятся, вектор тоже переменен и по модулю, и по направлению. Вектор направлен от

Рис. 2.88

неподвижной точки О вдоль мгновенной оси вращения в ту сторону, откуда вращение тела представляется происходящим против хода часовой стрелки. Как и в случае вращения вокруг неподвижной оси, вектор угловой скорости при сферическом движении скользящий, его можно переносить вдоль мгновенной оси, но нельзя перенести параллельно оси.