4.7. Теорема об ускорениях точек плоской фигуры и ее следствия
Ускорение любой точки плоской фигуры равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения этой точки в ее вращении вместе с плоской фигурой вокруг полюса (рис. 2.64):
,
а
с учетом того, что
,
будет
,
где
- ускорение полюса;
-
вращательное ускорение точки
Рис. 2.64
А
во вращении вокруг полюса О;
- центростремительное ускорение точки
А
во вращении вокруг полюса О.
Из теоремы о вращательном движении тела известно:
Следствие 1. Проекция ускорения любой точки плоской фигуры на ось, проведенную из произвольного полюса через эту точку, не может быть больше проекции ускорения полюса на ту же ось (рис. 2.65,а).
Если известно ускорение полюса О, ускорение точки А плоской фигуры определяется по формуле
Сложим
по правилу многоугольника (рис. 2.65,а).
Проведем
из полюса О
через точку А
ось х
и спроецируем все эти векторы на эту
ось:
,
а) б)
Рис. 2.65
где
-
проекция ускорения точки А
на ось х;
-
проекция ускорения скорости полюса на
ось х.
Следствие 2. Концы ускорений точек неизменяемого отрезка лежат на одной прямой и делят эту прямую на части, пропорциональные расстояниям между этими точками (рис. 2.65,б):
.
Задача
2.14.
Центр колеса, катящегося без скольжения
по рямолинейной неподвижной поверхности
(рис. 2.66,а),
имеет в данный момент скорость
и
.
Радиус колеса равен R.
Определить ускорение точки Р
колеса, являющейся в рассматриваемый
момент мгновенным центром скоростей.
а) б)
Рис. 2.66
Решение. По теореме об ускорениях точек плоской фигуры ускорение точки Р равно геометрической сумме ускорения полюса и ускорения данной точки во вращении вместе с фигурой вокруг полюса. Примем за полюс точку О, так как ее ускорение известно, тогда
.
(а)
Для
определения вращательного
и центростремительного
ускорений необходимо знать угловые
параметры плоской фигуры. При качении
без скольжения по неподвижной поверхности
мгновенным центром скоростей является
точка соприкосновения колеса и
поверхности. Поэтому скорость точки О
можно выразить в виде
,
откуда
.
Покажем направление угловой скорости по ходу часовой стрелки (рис. 2.66,б), так как скорость точки О рассматриваем как вращательную скорость точки при повороте плоской фигуры вокруг мгновенного центра скоростей и ее направление должно соответствовать направлению угловой скорости.
Угловое ускорение получим, продифференцировав один раз по времени угловую скорость
.
Направление
углового ускорения
совпадает с направлением угловой
скорости
,
так как
и
направлены в одну сторону. Зная угловые
параметры, определим составляющие
ускорения:
;
.
Далее на чертеже показываем векторы, из которых слагается ускорение точки Р:
- вектор , равный ускорению полюса;
- вектор , направленный от точки Р к точке О;
- вектор , перпендикулярный ОР и направленный в сторону .
Ускорения и равны по модулю и противоположны по направлению. Следовательно, =- . Подставляя в выражение (а) это значение, получим
.
Ускорение мгновенного центра скоростей колеса, находящегося без проскальзывания на неподвижной поверхности, направлено к его центру О и имеет модуль
.