Глава 9. Силы, произвольно расположенные в пространстве

9.1. Вычисление главного вектора и главного момента

Системы сил, произвольно расположенных в пространстве

Произвольную систему сил в пространстве можно привести к одной силе, равной их главному вектору и прило­женной в центре приведения, и к паре сил, момент которой равен глав­ному моменту системы сил относительно центра приведения.

Для вычисления главного вектора и главного момента си­стемы сил, произвольно расположенных в пространстве, воспользуемся методом проекций (рис. 1.92). Известно, что

.

Рис. 1.92

Обозначив X, Y, Z проекции главного вектора на оси координат, получим

где – проекции сил, соответственно на оси х, у, z.

Модуль и направление главного вектора определяются по фор­мулам:

.

Главный момент системы сил

Его проекции на оси х, у, z, проведенные через точку О, равны главным моментам системы сил относительно этих осей:

Модуль и направление главного момента определяются по форму­лам:

Момент каждой силы можно вычислить непосредственно или по формулам:

Аналогично главные моменты можно определить по формулам:

9.2. Возможные случаи приведения сил, произвольно расположенных в пространстве

При приведении сил, произвольно расположенных в пространстве к заданному центру возможны следующие случаи.

Случай I. Если главный вектор системы сил и ее главный момент относительно центра приведения равны нулю, то силы взаимно уравновеши­ваются.

Случай II. Если главный вектор системы сил равен нулю, а ее главный момент относительно центра приведения не равен нулю, то силы приводятся к паре сил.

Момент этой пары сил равен главному моменту системы сил относительно центра приведения. В этом случае главные моменты системы сил относительно всех точек пространства геометрически равны.

Случай III. Если главный вектор системы сил не равен нулю, а ее главный момент относительно центра приведения равен нулю, то силы приво­дятся к равнодействующей , линия действия которой проходит через центр приведения.

Случай IV. . Ранее показано, что если главный момент системы сил относи­тельно центра приведения перпендикулярен главному вектору, то силы приводятся к равнодействующей силе , линия действия которой не проходит через центр приведения.

Случай V. . Ранее показано, что если главный момент системы сил от­носительно центра приведения не перпендикулярен главному вектору, то силы приводятся к двум скрещивающимся силам или к силовому винту (динамо), т. е. к совокупности силы и пары сил, плоскость действия которой перпендикулярна силе.

Случаи I-IV возможны и при расположении сил в одной плоскости.

9.3. Теорема о моменте равнодействующей силы

(теорема Вариньона)

Момент равнодействующей системы сил относительно любой точки равен геометрической сумме моментов составляющих сил относительно этой точки (рис. 1.93)

.

Рис. 1.93

9.4. Уравнения равновесия сил, произвольно расположенных

в пространстве

Для равновесия произвольной пространственной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы сил равнялись нулю:

Условию равновесия в векторной форме соответствуют шесть уравнений равновесия:

(а)

Первые три уравнения (а) называются уравнениями моментов сил от­носительно осей координат, а последние — уравнениями проекций сил на оси.

Для равновесия параллельной системы сил, приложенных к твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор и главный момент этой системы сил равнялись нулю:

; .

Условиям равновесия в векторной форме для параллельной системы сил соответствуют три уравнения равновесия:

Задача 1.16. На рис. 1.94 изображен коленчатый вал двигателя. При вертикальном положении средней плоскости колена давление шатуна на сере­дину шейки вала составляет Р = 12 кН и направлено в плоскости, перпенди­кулярной оси вала, под углом 15° к горизонтали.

На оси вала в точке С закреплен маховик весом G = 12 кН. В точке E укреплен шкив диаметром D = 80 см с ремнем, передающим момент на вал рабочей машины. Ветви ремня лежат в плоскости шкива и составляют с го­ризонталью угол, равный 30°. Отношение натяжения ведущей и ведомой ветвей T/t = 2.

Расстояние от оси шейки колена до оси вала r = 15 см. Расстояния по

оси вала указаны на рис. 1.94 в сантиметрах. Определить натяжения ветвей ремня T и t реакции подшипников А и В при равномерном вращении вала и при заданном его положении. (Весом шкива и вала можно пренебречь).

Рис. 1.94 Рис. 1.95

Решение. Объект равновесия – коленчатый вал, т.е. балка АЕ с ломаной осью. Показываем задаваемые силы: вес маховика , давление шатуна на шейку вала и реакции ветвей ремня и , направленные по касательной к окружности обода шкива. Отбрасывая связи (подшипника), прикладываем к валу их реакции, разложенные на составляющие (рис. 1.95).

Начало координат помещаем в точку А, ось х направляем по оси вала перпендикулярно плоскости чертежа, оси y, z – перпендикулярно к оси х (лежат в плоскости чертежа).

Для произвольной пространственной системы сил необходимым и достаточным условием равновесия является равенство нулю главного вектора и главного момента:

.

Выбрав оси координат, как показано на рис. 1.96, составляем уравнения равновесия сил, произвольно расположенных в пространстве. Вал имеет две точки опоры А и В; первым составляем уравнение моментов относительно оси х, проходящей через эти точки.

1. .

Рис. 1.96 Рис. 1.97

Так как , то модули сил t и Т можно определить так:

,

откуда

кН;

кН.

Затем составляем следующие уравнения моментов по рис. 1.97. При вычислении моментов сил , и относительно оси у проецируем каждую из этих сил на плоскость, проходящую через точку приложения силы перпен­дикулярно оси у.

Полученные проекции параллельны оси z.

2.

,

Откуда

Аналогично при составлении уравнения находим проекции сил , и на плоскости, перпендикулярные оси z. Эти проекции параллельны оси у и соответственно имеют абсолютные величины .

3. :

.

Определяем :

Составляем уравнения проекций на оси у и z (все действующие силы, перпендикулярные оси х, и уравнение преобразуются в тождество 0 = 0).

4. .

Находим :

.

5. .

Определяем :